Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
следует подставить величины
Яа, Яар, б1?а И бЖ*р, В КОТОрЫХ аДДИТИВНО уЧТвНЫ КуЛО-
новские взаимодействия всех пар частиц:
Уфа Уфа (5 91)
V V
Функции л«\ бИ^а*, «оф и бИ^р с различными сочетаниями индексов а, р и у определены в данном параграфе формулами (5.82), (5.86), (5.86') и (5.87)-(5.90).
Эти асимптотические формулы могут быть получены путем таких же вычислений, как и в случае, когда заряжены только две частицы. Необходимо лишь вместо функции Тс1*, задаваемой соотношением (5.66), взять в качестве нулевого приближения новую функцию, асимптотика которой при ?(а) оо (а = 1, 2, 3) описывается формулами (5.51), (5.52). При этом вместо простого представления в терминах вырожденной гипергеометри^еской функции здесь появляются громоздкие конструкции, с помощью, которых новая функция Таз задается в особых направлениях. Причиной появления таких сложных функций является то обстоятельство, что в случае трех заряженных частиц- даже асимптотически не происходи^ разделения переменных в уравнении Шредингера в целом. В результате для сшивания решения- применяются различные эталонные уравнения, в зависимости от положения точки в конфигурационном пространстве. Если же
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУ1ГКЦИЙ
235
заряжены только две частицы пары а, то переменные в уравнении Шредингера без ядерных потенциалов делятся в базисе {ха1 уа), что и отражает представление (5.66). Упомянутая выше функция Чга8 будет описана в следующем параграфе.
Итак, мы рассмотрели случай, когда точка X расположена в области ?20, где все частицы сильно разделены. Мы показали, что функция (5.64) является асимптотическим решением уравнения Шредингера, и описали эйко-нальные приближения 4я а и 4яаР. Мы видели при этом, что слагаемые Ч^, отвечающие процессам однократного перерассеяния, возникают в результате решения уравнения Шредингера (5.69) в окрестности направления ха — О с искаженной плоской волной в качестве «источника». Аналогично, «источником», приводящим к появлению приближений двукратного эйконала в области йр, р Ф а, является функция Чга, образовавшаяся при перерассеянии плоской волны в области йа. Разумеется, описанный здесь метод построения асимптотики путем последовательного рассмотрения процессов перерассеяния в областях Qa применим и для систем нейтральных частиц.
Рассмотрим далее случай, когда частицы разделены слабо и двухчастичные подсистемы имеют связанные состояния. При этом в областях йа, где частицы попарно близки одна к другой, к описанным выше слагаемым добавляются искаженные кластерные сферические волны
которые сопоставляются процессам (3 ->- 2) захвата частиц. Фазы \УА совпадают с двухчастичными фазами, отвечающими движению частицы в эффективном кулонов-ском поле, создаваемом связанной парой:
Параметр паа, характеризующий величину эффективного кулоновского взаимодействия, с точностью до множителя равен произведению суммарного заряда пары а на заряд третьей частицы:
3
ехр
{*\У*\У** + *\ + Мл} \Уа\
А — {ос, ]},
(5.92)
Паа = ЧУ2ц,, а в, (б,- + б,) , ОС =({,/) , I Ф I Ф /,
236
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
или в терминах коэффициентов s$a и щ:
Слагаемые (5.92) быстро убывают при Ual 00 и не дают вклада в асимптотику xF0(Ar, Р) в области Q0. Чтобы увидеть причину их возникновение, обратимся к представлению (5.75), которое задает решение в fia. Если оператор ha имеет связанные состояния, то функция Грина (5.71) содержит отвечающие им слагаемые (4.23). Поэтому наряду с функциями, которые мы уже описали, появляются новые слагаемые, которые и собраны в представлении (5.92).
Итак, мы описали асимптотику волновых функций с помощью эйкональных приближений. Мы также установили, что последние теряют смысл в ряде направлений конфигурационного пространства, называемых особыми. Эти направления можно разбить на две группы. Будем называть главными особые направления Qf, ^a0) и fiap, где эйконалы Z, Za и Zap совпадают со сферическим эйконалом |Х|. Мы покажем, что амплитуда искаженной сферической волны имеет в главных особых направлениях неинтегрируемые по единичной сфере особенности.
Все остальные особые направления и отвечающие им сингулярности будем называть второстепенными. Анализируя полученные выше формулы, приходим к заключению, что второстепенные особенности возникают по следующим причинам. Во-первых, если относительные импульсы частиц малы после столкновений либо, как в случае эйконалов Za и Zap, в момент столкновения. Например, в формуле (5.86) это имеет место при к1з а1 = О или kai = 0. Во-вторых, эйкональная форма асимптотики теряет смысл в тех случаях, когда относительно малы параболические координаты типа ?ia) для одной или двух пар частиц после столкновений или в момент его.
Отметим, наконец, что особые направления соответствуют тем областям конфигурационного пространства, где -теряют силу квазиклассические асимптотики. Действительно, квазиклассические волновые функции имеют вид
"?s(X)=As(X)eis<x\ где через S(X) обозначено действие, определяемое урав-
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
237
нением Гамильтона — Якоби (VS)2 =*Е — У(Х), и через AS(X) — отвечающее ему решение уравнения неразрывности 2(4А, VS)+-A&S = 0. Квазиклассические приближения переходят в эйкоиальные, если отношение потенциала и кинетической энергии частиц стремится к нулю: VE~l/2 -> 0. При этом эйкональное выражение под знаком экспоненты ex^{il/EZ+ iWz) совпадает со старшим членом разложения действия в ряд по малому параметру VE~l/2. Так как вдали от особых направлений выполняется неравенство \^WZ\ < 1, величина VS отлична от нуля, поскольку |VZ|2 = 1. На особых направлениях значение VWZ возрастает, поэтому сумма V (Z + Wz) ~ v# может оказаться равной нулю. Это означает, что здесь имеются точки поворота, в окрестности которых квазиклассическое приближение неприменимо.
