Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
1 Y,a? 1
представляем в виде суммы X = ifaPZap + Л/аР, где направляющий вектор Ка$ в системе координат, ассоциированной с парой а, равен Ка$ = (IfcapUa, pap).
Мо-жно показать, что углы 0ар и фар, которые задаются соотношениями (4.48), единичный вектор ха и переменная соар, соар = (X2 — Zap)1/2, образуют ортогональную криволинейную систему к'оординат на поверхности Zap ^ = const. При этом прямым вычислением коэффициентов Ламэ можно убедиться, *что оператор Лапласа в новых переменных действует согласно формуле
А/ =
+ 0(\ха\-1\уа\-1\Х\-*), (5.59)
где функция Aafi определена равенством (4.52) в § 2 предыдущей главы. Отсюда следует, в частности, что функция \ха\~1\уа\~1Аа$ УДОВЛвТВОрЯвТ С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЛвНОВ
порядка О (\ха I~11 у a I ~11XI ~2) уравнению непрерывности (5.47).
Вычислим интегралы
/(V) пу Г
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
221
или с точностью до слагаемого
~~2|Г? 11п21 кУ^\\ХУ^\г
зависящего только от трансверсальных координат Мар, можем взять в качестве эйкональной фазы функцию
Таким образом, двукратному эйконалу отвечает следующее асимптотическое1 решение уравнения Шредин-гера:
т«е (х*р) = иР!иаР? М (*) и УЁ г<# + м^}.
\ха\\Уа1
(5.63).
Здесь кулоновсная фаза Ша» равна сумме интегралов (5.60) и (5.62):
V
Итак, мы построили эйкональные асимптотические приближения, отвечающие волновым функциям, которые сопровождаются значком (+). Чтобы получить формулы для волновых функций типа Ч14-*, следует воспользоваться соотношением (X, Р) ~ {X, -Р)% где в качестве функций берутся эйкональные приближе-
ния (5.51) — (5.63). Перейдем далее к анализу асимптотики функции
Асимптотика функций Ч^. Мы построим асимптотическое решение уравнения Шредингера, которое нормировано на искаженную плоскую волну с единичной амплитудой (5.51). В согласии с принятой выше гипотезой мы будем искать асимптотику этой волновой функции в виде суммы эйкональных приближений, отвечающих перечисленным выше эйконалам задачи трех тел:
Р) ~ Ц + 2 ?а + |2 Ч-ар + Ф0. (5.64)
а а^Р
Нам, однако, неизвестны амплитуды СаШа) и Сар(Д/ар) для -приближений однократного и двукратного эйконалов. Для их определения мы применим метод сшивания асимптотик.
Будем говорить, что гладкая функция Р удовлетворяет в окрестности направления й условиям сшивания с эйкональным приближением Чу21 если она подчиняется
222 ГЯ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
уравнению Шредингера (Н — Е)? = 0 с точностью до быстро убывающих при |Х| -*¦ «> членов и переходит в соответствующее эйконалыюе приближение при удалении X от направления Мы будем требовать, чтобы поправочное слагаемое убывало быстрее произведения Ъ~*? функции ? на обратную степень эйконала.
В теории рассеяния широко используется простейший вариант метода сшивания решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае в точке, где производится сшивание, сравнивают решения, которые содержат конечное число неопределенных коэффициентов. Последние, в результате, определяют путем решения системы алгебраических уравнений.^ Процедура сшивания значительно более сложна в случае уравнений в частных производных, когда произвол в общем решении не сводится к конечному числу неопределенных постоянных. Метод сшивания в этом сдучае опирается на принцип локальности дифференциальных уравнений, которой дает возможность- строить решения в «малом». Утверждение, которое называют принципом локальности, в данном. случае состоит в том, что свойство решения в окрестности многообразия ?2, где производится сшивание, зависит только от характеристик потенциала в этой окрестности и от вида решения на й. Это обстоятельство позволяет решить задачу сшивания для уравнения Шредингера путем сравнения асимптотики решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, которые получаются, если отбросить малые по величине возмущения, с эйкоиальными асимптотиками. Такой прием называется методом эталонного уравнения. В задаче трех заряженных частиц он принимает специальную форму, и мы детально обсудим возникающие здесь вопросы в следующих параграфах. В этом параграфе мы покая^ем сначала, что младшие члены асимптотического разложения функций 4я0 вплоть до искаженных сферических волн, могут быть однозначно определены из условий сшивания на направлениях йа, где частицы попарно близки одна к другой. *
Выкладки мы приведем на примере системы, в которой только две частицы имеют заряды. Это предположение значительно упрощает описываемые здесь конструкции. Все построения, однако, легко обобщаются на случай, когда заряжены все три частицы. Мы обсудим необходимые для такого обобщения модификации вычис-
§\2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
223
лений в конце этого параграфа. Там же мы приведем окончательные формулы для общего случая.
Для определенности предположим, что заряд частицы 1 равен нулю, так что п2 = п3 = 0, а щ Ф 0. Кроме того, при выводе асимптотических формул будем.дополнительно считать, что двухчастичные гамильтонианы ка (а = 1, 2, 3) не имеют связанных состояний, а относительные импульсы налетающих частиц не равны нулю, каФ0 (а = 1, 2, 3). Из первого предположения следует, в частности, что щ > 0. Асимптотические формулы в случае разноименно заряженных частиц мы опишем в конце этого параграфа.
