Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем к построению приближенных решений W z для указанных выше эйконалов трехчястичной задачи. Будем далее считать X шестимерным вектором, X <= R6.
Плоский эйконал Z, Z=(P, X). Вектор X может быть записан в виде ортогональной суммы X^ZP + М, (Р, М) = 0, где вектор М отвечает точкам на гиперплоскости R5, задаваемой уравнением (Р, X) == const. Не-
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 217
трудно видеть, что волновая функция в приближении плоского эйконала является искаженной плоской волной:
U - ехр Ц(ХЧ Р) + iW(X, Р)}. (5.51)
Фаза W(X, Р) дается равенством
W (X, Р) = S (2 J ка I)"1 па Ы\ка\ 1(а\ (5.52)
а
где ?(а) = \ха\ —ixa, ka) — двухчастичные параболические переменные. Следующие по порядку члены в разложении (5.48) определяются из рекуррентных соотношений (5.49). Можно убедиться, что к-й коэффициент dk(X), к > 1,
( " k+x\
имеет порядок0ц2|&а|?(а)^ 2 J ПРИ \ка\1а°°. Уравнение Шредиигера для Lc выполняется при этом с точ-
ностью до членов порядка
2(1М?(в>)" 2 • Отсюда сле-
* а
дует, что ряд (5.48) теряет асимптотический^характер в направлениях, где переменные |&а|?(а) в существенном ограничены.
Отметим, что в качестве приближения плоского эйконала можно взять также функцию C(M)LC, где мпожи-тель СШ) является произвольной функцией переменных м.
Сферический эйконал \Х\. Этот эйконал, как и в системе двух тел, порождает искаженную* сферическую волну
Q0(Xi P) = HX)\X\-5'*exvWE\X\+iWo(X, Р)}, (5.53) где кулоновская фаза имеет вид суммы
Трансверсальная поверхность Z{X) ~ const является в этом случае сферой.
Однократный эйконал Za. Напомним, что эйконал Za, описывающий процессы однократного столкновения частиц пары а, равен сумме сферического и плоского двухчастичных эйконалов, Za^=E~i/2(\ka\ l#J + (pa, */<*)). Вектор X может быть представлен в виде ортогональной
218
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
суммы
X=*ZaKa + Ma,
где вектор Ка, определяющий направление асимптотического движения системы, задается равенством
Ka~E-*'4\kj?a,pJ. (5.54)
Здесь использована система координат, связанная с парой а.
В качестве ортогональных координат на поверхности Za — const можно взять сферические координаты вектора ха, декартовы координаты иа проекции вектора уа на
ПЛОСКОСТЬ (/?«, у а) = COHSt И Переменную Юое=»^"1/2(1Ла1(ра, J/*) ~ \ха\ \уа\).
При этом перемепной (оа отвечает направляющий вектор еюа^ который в указанно^ выше системе координат дается равенством
6Qa = Е~Ш \\ ka I Ра, — | Ра \ Я а) •
Векторное поле Ма является функцией координат ха, иа и (Оа, причем справедливо равенство
Ниже мы оудем рассматривать совокупность переменных \ха\ иг/a как точку Ма в четырехмерном пространствеК4,
R^R^R1, i^a-iUa!, УаУ. ОтМвТИМ, ЧТО |Жа1=1Х|.
Можно показать, наконец, что уравнению непрерывности (5.47) удовлетворяет функция IrrJ""1.
Вычислим эйкональную фазу Wz> Рассмотрим интеграл
где интегрирование ведется вдоль прямой sa(t) — tKa + Ма. Вначале положим a = [}. Так как согласно (5.54) справедливо равенство xa(t, Ма) = ?| &a|Z?~1/2, этот интеграл совпадает с двухчастичной фазой
W(^ = -2^\n2\ka\\xa\.
$ 2. АСИМПТОТИКА ЁОЛЙОВЫХ ФУЙ1ЩЙЙ 219
Пусть, далее, ta=^?. Выразим х^Ш через координаты xa(t) и уаШ с помощью формул (3.22), учитывая при этом равенство (5.54). Получим
*? (*, Ма) = tkfE-1/2 + х?\ (5.56)
где
4а) = ^?cc| к | ха + *РаРа, 4а) - *? - га4а)я-1/2г
причем вектор #?a) является функцией лишь векторного поля Ма, #?а)=я^а)(Ма).Подставляя (5.56) в подынтегральное выражение (5.55) и беря интегралы, придем к. представлению
W« = - iJ^Tjln (14а) IЫ + ОТ, *?))- (5-57)
Выбирая иначе начало пути интегрирования, можно получить для интеграла (5.55) представление в виде -W^ixfr-kf), -где функция Wf дается равенством (5.57). При этом разность между функциями W^Xx^ к^) и — Wa\x^ — Zc(?a))зависит лишь от Ма:
wT{4l 4а)) + -ф)--^ы\ф\\ф\.
Отметим, наконец, что мы можем записать импульсы
7 (а)
/C? в виде градиентов но соответствующим координатам:
4°°= Vev^z«.
Итак; однократному эйконалу za отвечает приближенное решение уравнения Шредингера
exp (i VE Z„ + iWrt) Wa(X, р) = c„{ma) Pt У{хау a\ (5.58)
где кулоновская фаза Wa равна сумме интегралов
Wa=^Wa\ Неизвестная функция трансверсального ?
векторного поляг СаШа) будет определена ниже.
Двукратный эйконал Za?. Эйконал Za?, отвечающий процессам последовательных двухчастичных столкновений (? а), вырая^ается в терминах кинематических переменных равенством (4.46). Соответственно вектор X
220 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
21/5 J
sa?
где интегрирование ведется вдоль прямой sa? = tKa$ + Ma?. При if == а, как и в случае однократного эйконала, легко находим
W™ = - 2р^|1п 2 I **? 11^1 • (ЬЩ
При if ^ а имеют место равенства
ST(*, Map) « *ftTi ap?-1/2 + *Т. «?, (5.61)
где A:v>a? = VAVZa? или, в явном виде,
a? === ^T« I ^a? l*^a ^T«P«?? ^T, a? ~ ^a?^T, a?^ *^2«
По определению полагается &a, ap = /cap. Подставляя (5.61) в подынтегральное выражение получим, что
W«V = ~ 2UT2—lln (I *v.«? I I + (*v.«?. *v)) (5-62)
