Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
W12 = М12,123 + М12,124 + М12,34, (3.90)
где в обозначениях опущен индекс Ьх-и Слагаемые в этой сумме определяются соотношениями
М12,123 = -Т! Д0(Т18 + Т23) + Т12К0(\У13 + \У23),
М12,124 = -Т12К0(Т14 + Т24) + Т12К0(\У14 + \У24), (3.91)
М12,34 = -Т121Я0Т34 + T12R0W34. в
Всего, как мы отмечали выше, существует 18 цепочек разбиений, и, следовательно, мы получим столько же компонент. Представления, аналогичные (3.90) и (3.91), справедливы и для остальных 15 компонент. Отметим, что компоненты М12,123 и М12,124 отвечают включению взаимодействия, которое приводит к появлению трехчастич-ных подсистем (123) и (124). Компонента М12,34 соответствует образованию двух двухчастичных подсистем из частиц 12 и 34.
Система из 18 уравнений для этих компонент получается после подстановки в правую часть равенств (3.91) представлений ч(3.90). Однако эта система не является окончательной. Чтобы получить компактные уравнения, необходимо обратить диагональную часть данной системы. Ясно, что именно диагональные члены порождают итерации с б-образными особенностями, о которых говорилось выше. При этом результат указанного обращения может быть описан в терминах решения трехчастичной задачи.
Чтобы выполнить обращение, мы должны собрать компоненты, отвечающие одинаковым подсистемам. Имеется четыре группы компонент для трехчастичных под-
§ 5. СИСТЕМА N ЧАСТИЦ
111
систем и три группы — для двух подсистем, состоящих из двух частиц. Например, компоненты М12,123, М13,і23 и М23. 123 отвечают группе первого типа, а компоненты М12,34 и М34,12 — группе второго типа.
Рассмотрим, как производится обращение диагональных членов в таких группах.
Структуру диагонального блока для компонент первого типа отражает система уравнений
М12, 123 = . . . -Т12]Яо(М13> 123 + М23, 123 +. . .). . .,
, 123 — ... Т13И0 (М12,1М + М2а.лв +...)..., (3.92)
М23, 123 = . . . -Т23К0(М12, 123 + М23, 423 +• • •
а для компонент второго типа — система
МН. 34 = . . . -Т12К0Мз4, 12-...,
Здесь мы не выписываем явно неоднородные и недиагональные члены.
Запишем нашу систему в виде одного операторного уравнения
М = Мо + АМ.
«Матричный оператор» А, определяемый матрицей 18 X 18; может быть разбит на два слагаемых
А = А0 + А,
где А0 —* квазидиагональная матрица, состоящая из блоков (3X3) и (2X2). Типичный блок первого типа
уже встречался нам в задаче трех тел. Блоки (2 X 2) второго типа
соответствуют задаче двух невзаимодействующих между собой пар частиц. Матрица (I —А0)-1 может быть выражена через матрицы (I — С^з)"1 и (I —• С12,34)-1 и аналогичные матрицы, составляющие остальные блоки (2 X 2)
(3.93)
*Мз4, 12 = . • • —Т34К0Мі2, 34 —• • -
112 ГЛ, III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
р = 23, 31, 12,
а матрицы вида М^з*4* = (I— С12>34) 1—через решепие системы
Р = 12, 34.
Последнее решение явно описывается в терминах двухчастичных Г-матриц Т,12 и Т34.
В результате указанного обращения диагональных членов мы приходим к системе компактных уравнений, ядра и неоднородные члены которых явно'описываются
в термипах операторов в • Выпишем подробно два ти-пичных уравнения:
М123>12 = М[\% + + МЙ? - Т12б (12, -
— М^?2К0 (М234,23 + М134,13 + М14,23 + М23>13) —
— М(12д3К0 (М124Д2 + Мг34,23 + М34,12 + М24,23) —
— МЙЙИо (М124)12 + Мшл. + М34,12 + М24,13), (3.94) Мз4.м = М?,*» > + М^з344) - Т12б (12, Ьи-,) +
+ МЙйХМз,,,. + М234,34) +
+ М1122)334Х(М12з>12 + М124,12). (3.94')
Остальные 16 уравнений могут быть получены из этих уравнений перестановкой индексов. Эти уравнения представляют собой искомое обобщение компактных уравнений (3.28) на систему четырех частиц.
Задача N тел. Сформулируем теперь компактные уравнения для произвольного числа частиц N. Сначала введем ряд новых обозначений. Будем обозначать через
и (3 X 3). Матрицы вида М('23) = (I — С123)~\ элементы которых мы обозначим через Ма,р3\ явно выражаются через решения трехчастичной системы уравнений
м<Л> = о т31 о _ тзА о т,А ,
§ б, СИСТЕМА JV ЧАСТИЦ 113
Tai(z) Г-матрицу для оператора H„z,
T«zA Y4~ vAV«z- (3.95)
Резольвента R?/ выражается через оператор Та/ формулой
Rflz = R0-R0Tfl/R0. (3.96)
В силу (3.15), ядро Г-матрицы Tai в импульсном представлении дается равенством
Tai (i>, Р\ z) = «?р« (Klt k'ai% z - pi) б (Pai - p'a)%
где через ta^l) обозначено ядро Г-матрицы для оператора ha*nt\ Через 1^а{вк будем обозначать матричные операторы, строки и столбцы которых пронумерованы цепочками разбиений, А{ = (а*, ..., ,aN-i) и Bk = (feA, fcA+1, ... ..., 6tf-i). Сопоставим каждому разбиению ак компоненты Г-матрицы ТдА:
iVlfliV--lbiV-l — iV1AiV~l?iV-l ~~
= б («iv-i, biv~i) Уа]У_х — VajV-1RafeVbiV-1. (3.97)
При к = 1, т. е. при полностью включенном взаимодействии, эти компоненты совпадают с компонентами MaiY_1biV_1, определенными равенствами (3.85). Компоненты Ma^_1bn^1 при к ^ 2 явно выражаются в терминах Г-матриц подсистем, образующих разбиение ак. Из уравнений (3.19) следует, что Г-матрица Tah равна, сумме
(ah)
компонент Ма]у_1в]у_1 по всем цепочкам BN-ii
AN—VBN-1
Определим операторы при 2 ^ i ^ iV — 1 с помощью
