Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Система двух тел. Рассмотрим сначала систему двух заряженных частиц и проиллюстрируем на ее примере трудности, возникающие при наличии дальнодействую-щих сил. Описанные при этом результаты мы применим для вывода модифицированных компактных уравнений в системе трех тел.
В импульсном представлении уравнение Шредипгера для кулоновской волновой функции имеет вид
р2ис (р, р') + §ис(р — я) ис(д, р') йд = р,2ис (р, р'),
(3,110)
где vc(p — д) — преобразование Фурье кулоновского потенциала:
(Р — Я) = —ГГ1-Л1 П = /2^2Т?1?2
2л \p-ql
Функция ис(р, р'), известная в явном виде
§ 6. ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
121
явно. Однако он приобретает практическую значимость при рассмотрении системы трех и более тел, поскольку явный вид решения уравнения Шредингера в этом случае неизвестен.
Чтобы обойти трудности, которые возникают из-за пе-компактности уравнения теории возмущений в двухчастичном случае, можно использовать экранированный ку-лоновский потенциал
г»(г) = пе^ (3.114)
и затем выполнить предельный переход р 0 в окончательных формулах. При осуществлении такой процедуры необходимо учитывать, что волновая функция для потенциалов (3.104) удовлетворяет неоднородному уравнению
2n2P2-p'"-iOJ \p-q\2 + li2 4 V '
и не стремится к определенному пределу при р 0. Однако не имеющая предела часть волновой функции может быть выделена в виде множителя Z = ^'ln*4, не зависящего от р. В результате кулоновская волновая функция ис может быть получена как предел перенормированной функции:
ис (р, р') = Hm Z"1 (ji, р') щ (р, р').
Три заряженные частицы. Вернемся теперь к задаче трех тел. Аналогично двухчастичной системе, волновые функции для трех заряженных частиц удовлетворяют однородной системе уравнений (3.28). Таким образом, эта система не имеет единственного решения и, следовательно, доляша быть перестроена в соответствии со схемой, использованной нами для перехода от уравнения (3.4) к компактным уравнениям (3.28). Именно, мы должны найти сингулярную часть ядер уравнений (3.28), которая порояедает непрерывный спектр, и явно обратить ее.
Наиболее простой путь перестройки системы (3.28) состоит в том, чтобы ввести новые компоненты Ma? по отношению к гамильтониану Нс, в который уже включе-
122
ГЛ. III. метод интегральных уравнений
ны все кулоновские потенциалы Va2,{ха), ос = 1,2,3,
V{a{xa) = na/\xa\f Т. е.
He = H0 + SvLc).
а
Таким образом, положим
M^ = -6a?VLs)-V«R(Z)V(?s),
где через V«* обозначены короткодействующие части парных потенциалов, так что
Va (х) = 1#} (X) + Па/\ Ха\.
Повторяя рассуждения, которые привели нас к системе (3.28), получим модифицированные уравнения
М$ = Tlc) - TLc)Rc S М$, (3.116)
где Т<? = v?> - V^ReV^, Rc = (Нс - z)-1. В резуль-тате перестройки чисто кулоновские операторы оказались выделенными из компонент Ma? и отнесенными к ядру уравнений Га*. Можно показать, что уравнения (3.116) являются компактными, так что теперь центр тяжести задачи перенесен на изучение свойств ядер в которых сосредоточена информация о дальнЪдействую-щих частях потенциалов. Однако, в отличие от уравнений (3.28), явный вид ядер неизвестен, и мы должны изучить их с помощью каких-либо независимых уравнений. Эта трудность остается даже в случае, когда заряжены только две частицы и можно явно построить Г-матрицу для системы, в которой короткодействующий потенциал включен в заряженной паре. Но, кроме такого оператора, нам необходима Г-матрица для системы, где короткодействующий потенциал действует между заряженной и нейтральной частицами, явный вид которой уже найти невозможно.
Таким образом, система уравнений (3.116) не может быть использована для преодоления трудностей кулонов-ской проблемы, поскольку задача исследования свойств операторов Та не проще, чем исходная. Тем не менее, уравнения (3.116) в ряде случаев оказываются удобными для численных расчетов, и мы убедимся в этом в главе VII,
§ 6. ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
123
Существует другая возможность для перестройки уравнений. Именно, изучим более детально кулоновские сингулярности, которые появляются в уравнении (3.28), и попытаемся обратить соответствующие операторы, не используя информацию о свойствах промежуточных ку-лоновских трехчастичных задач.
Рассмотрим уравнение (3.68) для компонент Т ав ВОЛНОВЫХ операторов ив, Р = 1, описывающих рассеяние частицы 1 на связанном состоянии частиц 2 и 3. Предположим для простоты, что заряжены только частицы 1 и 2 и что пара (23) имеет одно связанное состояние ч]^.
Чтобы найти кулоновские сингулярности ядер уравнений (3.68), мы по аналогии с задачей двух тел применим сначала вспомогательный прием, состоящий в замене кулоновского потенциала п^х^"1 «экранированным | ха |-1 е~""м'1*а1с последующим предельным переходом (Л I 0.
С помощью уравнения теории возмущений можно установить, что Г-матрица для потенциала приобретает сингулярность в пределе III 0:
№ (р, р\ z)= -1—Г1 +1™ (р, р', z). (3.117)
2л; \ р~р \ +
Покажем, что именно эта сингулярность, взаимодействуя с особенностью (я + х2парной Г-матрицы для пары (23), и порождает основные особенности в интегральном уравнении для трехчастичной волновой функции при отрицательных энергиях р'2 — х2 < 0.
