Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы вывести компактные интегральные уравнения для ядер волновых операторов, умножим обе части уравнений (3.59) на ^/еЬв,или +?еЬ0,положим ъ = Ев{р'$) ± ± 1гг Вф 0, или z = Р'2, ±1е, В = 0, соответственно и пе-
§ 3. резольвента и волновые операторы 97
= барЬБ - г!0 {Ев ± Ю) Та (Ев ± Ю) 2 иув, п
ий) = баіЬ0^к0(р,2±ю)та(Р'2±ю) 2 и70.
Уфа
64)
Следует подчеркнуть, что интегральные уравнения второго рода для волновых операторов ийв и раз-
личаются только свободными членами. При этом однородные уравнения эквивалентны уравнению Шредингера для собственных функций оператора Н.
Интегральные представления для компонент. Покажем, что компоненты Wafi(z) можно задать с помощью интегральных представлений
ТавЫЙвЫ = \УаРЫК0ЫЬв, (3.65)
ЇЬ(2) Ува (*) - Ь5Лв (*) \Ур« (*); (3.66)
здесь через Тав обозначен оператор из $в в задаваемый ядром Тав{Р* Рр, я). Символ УяаЫ обозначает оператор из $ в $в с ядром
и символ йв (я)-—резольвенту оператора энергии канала Б,
Нв(*у=(Н,
Покажем сначала, что справедливы соотношения
Та (*) Н0 МЬА = -ФаЙл (*) , (3.67)
где через Фа обозначен оператор из фА в ф, задаваемый ядром
Фа (Р, Ра) = ФА (ка) б (ра — Ра).'
Распишем соотношение (2.14) в терминах оператора Т(я): (?)ЬА - Ко(*)Т«(*)(г)Ьл = ЬаЙа(*).
Умножая это равенство на Н0 — ъ и собирая подобные члены, получим (3.67).
7 С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
рейдем к пределу 8 10 с учетом равенств (3.60), (3.61). В результате получим уравнения
98
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С помощью этих соотношений устанавливаем далее, что итерации Q^? (z), ядра которых .являются ядрами типа iZ5a?, подчиняются равенствам (3.65) и (3.66), где ядра Гар следует заменить соответствующими компонентами Тапв(г) и V(Sl итераций q?$. Чтобы доказать теперь соотношение (3.65) для операторов Wa?U), следует воспользоваться системой уравнений (3.29). С одной стороны, операторы
Na? (z) = - 2 W$ (z) R0 (z)LB(BB - z)
? •'
удовлетворяют системе уравнений
NaB (z) = (z) - Ta (z) R0 (z) 2 N7B (z), (3.68)
совпадающей с компактными уравнениями (3.29), но с другим свободным членом. Из свойств ядер (?a?(z)> перечисленных выше, следует, что ядра операторов N«b представляются в виде
Мав(Р, P?, 2) = рав(Р\ P?, z) +
где компоненты рав и оАв являются убывающими гёль-деровскими функциями. С другой стороны, из определения операторов Тав и из уравнения (3.48) следует, что этой же системе уравнений удовлетворяют операторы Ta?(z), построенные по компонентам ядер Wa?(z)- На основании теоремы единственности решения системы (3.48) в рассматриваемом классе функций мы получаем тогда соотношение (3.65).
Из доказанного утверждения следует также, что компоненты Тав, через которые выражаются волновые операторы, удовлетворяют системе уравнений (3.68) при п = 0. Эти уравнения более удобны для исследования свойств ядер UaB в импульсном представлении, чем уравнения (3.64), так как здесь уже отдел.ен сингулярный множитель (Р2 — Ев (p?) н= Ю)~1.
Докажем формулу (3.66). Заметим, что из определения ядер Jab и НАВ следует равенство
(*) Vgl = Rb (z) VfiS - Rb (z) Фв 2 W$? (z). (3.69)
§ 3. РЕЗОЛЬВЕНТА И ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ 99
С другой стороны, умножая (3.48) на оператор LBR0(z) слева и учитывая соотношения (3.66) для ядер <?a? и , найдем, что операторы Nbc6=LbR0 (z) Wjs« (z) подчиняются аналогичным соотношениям:
N» = Rb (*) Ш - Rb(*)Ф? 2 W$ (z). (3.70)
v^?
Сравнивая равенства (3.69) и (3.70), придем к заключению, что равенства (3.66) справедливы для ядер и, следовательно, для Wtt?(z).
Ядра оператора рассеяния. Выразим ядра оператора рассеяния через компоненты Wa0U).
Как было показано в главе II, ядра матричных элементов оператора рассеяния SAB совпадают с вычетами ядра резольвенты в полюсах, отвечающих рассматриваемым физическим процессам В -> А. Поскольку выше мы уже описали полюсные особенности ядра Г-матрицы, нам остается применить соотношения (2.36). При этом ядра Sab следующим образом выражаются через компоненты:
Sab (ра, P?) = б (ра — рр) бАВ —
— 2ki8 (ЕА (ра) — Ев (p?)) НАВ (ра, P?, #в (p?) + Ю),
<МЛРэ) =
= - 2mo(P2 - Ев(р$))%ТаВ(Р, pI eB{pt) + Ю),
а
Sao(P«,P')= (3.71)
= - 2m6(^AU)-^2)2^A?U, Р\ Р'2 + Ю),
?
= б (Р - Р') - 2ш6 (Р2 - Р'2) 2 A^a? (Л Р'2 + Ю).
a,?
Отсюда следует, в частности, что хотя операторы 2Тав, 2^A? и Hab и не совпадают с операторами
а ?
перехода К0в, Као я^Кав, которые входят в определение ядра SAB (2.36), их ядра становятся равными на энергетической поверхности. Отметим, что ядра Ков, КА0 и КАв являются гладкими ограниченными функциями. Напротив, ядро Г(Р, Р', Р'2 + Ю) содержит многочисленные особенности, которые отвечают ядрам Та(Р, Р\ z) и 7*
100
гл. iii. метод интегральных уравнений
0?1(р,р'9г). Справедливо следующее представление: т(р,р'9р'2 + Ю) =
= 2 (ка, к'а,к'а + Ю) б (ра — Ра) + а
+ 2 <?($(р>р', р'2 + ю) + 2 + *о),
(3.72)
где выделены слагаемые та и которые имеют наи-
более сильные особенности — ,6-функционные и полюсные.
На этом мы закончим описание общих следствий из интегральных уравнений (3.29). В главе VI мы используем изложенные выше результаты для доказательства асимптотической полноты волновых операторов.
