Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
dAa=—p°d{8V°), (6.140)
Однако это выражение справедливо только для обратимых процессов. Таким образом, тензор энергии вида (6.67) и (6.68) применим только в случае обратимых процессов без подвода тепла, т. е. для адиабатических процессов. В § 7.9 мы рассмотрим общий случай наличия теплопроводности в среде.
В соответствии со вторым законом термодинамики, применительно к малой частице материи с объемом 6У° имеем
d (бЯ0) + р° d (6У°) = T0 d (бS0), (6.141)
где T0 — собственная абсолютная температура, a 6S0 — энтропия покоя частицы. Тогда (6.138) можно представить в форме
d(6S°)AfT = 0, (6.142)
откуда следует, что собственная энтропия частицы не меняется во время движения, как и ожидалось для адиабатических процессов.
"“ Ранее мы заметили, что (6.135), (6.136) эквивалентны лишь четырем независимым уравнениям. Однако они содержат пять неизвестных функций: р°, (х° и три компоненты вектора скорости и. Поэтому для определения неизвестных требуется еще одно уравнение. Ясно и физически, что движение жидкости не определено, пока не заданы термодинамические свойства системы. Для жидкости термодинамическое состояние в общем случае определяется двумя независимыми параметрами, например p0, T0. Однако для адиабатических процессов, когда энтропия постоянна, T0 и, следовательно, все функции термодинамического состояния могут быть выражены через один параметр — давление. Таким образом, для данной жидкости р,0 можно считать известной функцией от р0, так что в четырех уравнениях (6.135), (6.136) остаются лишь четыре неизвестные функции.
140
Для того чтобы разъяснить это важное положение, введем плотность чистой (голой) массы р°, которая в случае некогерентной материи совпадает сплотностью собственной массы. Для жидкости с заданным химическим составом P0 равна просто сумме масс покоя всех молекул, содержащихся в единице объема в системе покоя S0 жидкости. В отличие от полной собственной массы чистая масса сохраняется. Считая р° скаляром, его сохранение можно выразить в форме уравнения неразрывности
(P0Ul)tt = O4 (6.143)
Теперь плотность энергии A0 равна
A® = P0 C3+P0 8° = р» (с* 4-е0), (6.144)
где е° — удельная внутренняя энергия, т. е. сумма тепловой и упругой энергий приходящихся на единицу чистой массы в системе S0. Пусть V0 — удельный объем, т.е. объем одного грамма чистой массы в S0, тогда
P0O0=L (6.145)
С помощью обыкновенных термодинамических экспериментов с одним граммом покоящейся жидкости можно определить обычное уравнение состояния
0°= \/P° = v°(p0, T0), (6.146)
калорическое уравнение состояния
S0 = S0 (P0tT0) (6.147)
и удельную энтропию
S0 = S0(p0,T0) (бЛ48)
как функции от р° и T0. Для адиабатического процесса (6.142) S0 (p0, T0) во время движения — постоянная величина, и при заданном значении этой постоянной величины температура может быть выражена как функция давления, т. е. T0 = T0 (р°). В соответствии с (6.144)—(6.147) р°, е° можно выразить как известные функции одной переменной р°. Теперь при заданных начальных условиях четыре независимых уравнения (6.135), (6.136) дают возможность определить движение и давление во всех точках ив любой момент времени; все другие функции состояния также полностью определяются.
Если жидкость находится в термодинамическом равновесии, то р°, р° и и одинаковы во всехдочках среды. Тогда, интегрируя (6.131) по всему объему
V = V0 (I —U2Ie2Y12 жидкости, для полного импульса и энергии получаем выражения
H = KV = (H0 +р° I/0 u2/e2)/(l—u2/e2)i/2-,
S (I —и2/с3) (I — w2/с2)
Gi = (H0 + p01/0) UlIe2—\р° I/0 (1 — и2/с2)112 6и/с. (6.149)
Из (6.149) видно, что в данном случае полный импульс и энергия, т. е. величины Gi = {G, (і/с)Я} не образуют 4-вектор. Это не противоречит нашему общему результату (см. § 6.2), так как данная система не замкнута. Чтобы величины |я°, P0 и и были везде постоянными в среде, жидкость нужно поместить в сосуд, стенки которого будут воздействовать на систему с силами, не включенными в тензор энергии (6.130) (см. гл. 7). Однако из (6.149) находим, что
G = u(H + pV)fc2; Hi-pV= (H0+ р0V0)/Vl-и?/с\ (6.150)
откуда следует, что система имеет тот же самый импульс, что и частица с энергией E — H pV и энергией покоя Е0~Н0-{- P0V0. Величины E и E0 пред-
ставляют собой так называемую энтальпию в системах 5 и S0 соответственно. 4-Вектор
Ei = (G, іЕ/с) = (E0/с2) U1 (6.151)
141
называется 4-вектором энтальпии. Его пространственная часть равна импульсу, а —іCEi = E- энтальпия. Аналогично величина
Pi = UiHVc2 (6. По-
является 4-вектором, который называется инклюзивным 4-импульсом системы [131].
Упражнение
Плотность энтальпии покоя жидкости дается формулой
о0 = Zz0 + р°. (а)
Показать, что фундаментальные уравнения идеальной жидкости можно записать в виде
(O0UiUhIc2)ik= —Р,і (б)
и что они эквивалентны четырем независимым уравнения
(o°Uk)^k=dp/dT; (в)
(G0Ici) dUiJdx= —р,г —(1/с2) (dp/dx) Ui. (г)
Формально оии совпадают с уравнениями для системы с плотностью собственной
