Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Tik = T^+ TiiIK (7.1)
Например, в случае заряженной материи Tjp может быть механическим тензором энергии, а Т\р —электромагнитным тензором. Определяя 4-вектор fl как
f]=-OTlVldxb,
из (7.1) и (6.1) получаем
BTj1Jfdxh = -OTjridxk = ft, (7.2)
где /* — плотность обобщенной 4-силы, обусловленной системой 2и действующей на систему 2(1). Таким образом, фундаментальные уравнения для незамкнутой системы имеют форму
OTiJdxx = ft = —dSikfdxh, (7.2')
где /* —сила, действующая на систему с тензором Tik. Сила, действующая на-систему с тензором Siравна—/*. Она имеет характер истинной механической силы только в частном случае. Физический смысл пространственно-временных, компонент Tu н T4i тензора энергии незамкнутой системы такой же, как и в случае замкнутой системы [см (6.2), (6.3)], т. е.
Tapi-(Uc)S11', Til^ = Icgtl] Tii- h\ j (7 3)
gi = (Ific) Tи = [g,(Uc) h), J
где h,fS и g — плотность энергии, поток энергии и плотность импульса соответственно, характеризующие незамкнутую систему.
Вместо (6.4) и (6.5) имеем теперь уравнения
. dgJdt + dT^fdx, = ^] ) dhfdt-\-d\v S = (с/i) /4, J
которые аналогично (4.244) и (4.242) являются теоремами об изменении энергии и импульса незамкнутой системы. Ввиду неоднозначности разбиения (7.1) тензор энергии незамкнутой системы не обязательно симметрический, но в любом случае должно соблюдаться равенство
Tih-Tht =-(Sih-Su). (7.5)
Полные импульс и энергия конечной незамкнутой системы Gi = j Si dV = j (TiJic) dV = [G, (i/с) H]
145.-.
в общем случае не постоянны во времени. Интегрируя (7.2') по всему физическому пространству в произвольно инерциальной системе 5, получаем
d J (TtJic) dVldt = dGjdt = Jf? dV. (7.6)
Если Gi (t) и Gi (t') — импульс и энергия незамкнутой системы в двух различных инерциальных системах, то соотношение между ними уже не будет определяться формулой (6.3Г). Это следует из того, что не существует однозначного соответствия между переменными t И f, являющимися аргументами функций Gi и Gi-. Ho даже для стационарной системы, когда Gi и G[ не зависят от времени, они не будут преобразовываться как компоненты 4-вектора (см. § 7.2). Это непосредственно вытекает из доказательства векторного характера Gi в случае замкнутой системы, приведенного в § 6.2. Для незамкнутой системы вместо (6.28) имеем
J Ebk d2k + J Ebh d2h = J щ f?dQ. (7.7)
S1 Ss Й
Здесь при произвольной Q правая часть не равна нулю. Углоеой момент, определяемый уравнением
= J(*i?k—xhgi)dV, (7.8)
будет теперь зависеть от времени. Из (7.2') вместо (6.33) получаем уравнение д (%i Thi--Xh Tи)!Oxl = Xi J% — xh ft jTThi—-Tih.
Интегрируя по всему физическому пространству, находим, что
± Mih = J (Xifl-ХьП+ Thi-Tih) dV. (7.9)
Следовательно, в этом случае плотность момента сил должна быть определена как
*гь = х{П-хкП + Тм-Т1к. (7.10)
Для незамкнутой системы центр масс уже не играет такой большой роли. Определяя радиус-вектор центра масс в инерциальной системе S уравнением (6.39)
X(S) = (IJff) $h(x,t)xdV = (UGt) $xg<dV, (7.11)
после простых вычислений, используя (7.9) при і ~ \i, k = 4 и (7.6), получаем
dX (S) C1G X(S)
dt H
[lndV+i;jxr,dV+i;l(vs-'cg)^- <7-12)
Следовательно, скорость центра масс уже не равна C2GJH, как это было в случае замкнутой системы, даже если тензор энергии и симметричен. Это сильно ограничивает значение центра масс как характерной точки физической системы.
Для замкнутой системы собственный центр масс является центром масс в ее собственной системе покоя. Теперь попытаемся для незамкнутой системы определить внутри нее такую характерную точку, которая в любой момент времени является центром масс в своей мгновенной системе покоя. Конечно, все системы покоя различны в различные моменты времени. Детальное исследование показывает, что этим условием характерная точка определяется неоднозначно [167]. Фактически даже в замкнутой системе существует бесконечное количество точек, являющихся в любой момент времени центрами масс в своих
146
системах покоя. Например, если представить, что диск, описанный в § 6.3, вращается с постоянной угловой скоростью
со0=-M0C2Iti0/|m° I2 (7.13)
в системе покоя S0 собственного центра масс, то любая точка диска будет центром масс в своей мгновенной системе покоя. Рассмотрим, например, точку pf которая в данный момент времени имеет радиус-вектор а, отсчитываемый от центра диска. Тогда скорость точки
V = (й>° х а) = (—Л4°с2/| т° |2) (т° х а), (7.14)
откуда следует, что
т° XvfM0Ci = (— 1/|т°|г){т°Х (ш°ха)} = а. (7.15)
Из сравнения (7.15) и (6.48) видно, что р является центром масс в системе S,. движущейся относительно 5° с той же скоростью V, что и сама точка р, т. е. любая точка вращающегося диска является центром масс в своей собственной системе покоя.
Для замкнутой системы с помощью условия (6.40) можно было выделить одну точку (собственный центр масс), такую, чтобы полный линейный импульс физической системы равнялся нулю в системе покоя этой точки. В случае незамкнутой системы это невозможно, так как если записать уравнение (7.12) в мгновенной системе покоя определенной выше характерной точки, то левая часть этого уравнения станет равной нулю, а импульс, как это показывает уравнение (7.12), не будет в общем случае равняться нулю в данной инерциальной системе. Если даже он равен нулю в рассматриваемый момент времени, то в последующий момент времени он будет отличен от нуля. Таким образом, однозначное обобщение ньютоновского центра тяжести для незамкнутых систем возможно только в случае внешних сил самого частного вида (см. § 7.2). Однако как мы увидим в § 10.8, существует одно важное исключение. Если внешние силы — гравитационные и если система достаточно мала, то всегда можно однозначно определить собственный центр масс со всеми свойствами ньютоновского центра масс.
