Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
= const, x'i, = const соответственно, с произвольными значениями этих постоянных. В качестве Q выберем область, ограниченную гиперплоскостями Si, S2 и цилиндрической гиперповерхностью S3, ограничивающей мировую трубку, в которой Tih=^O (рис. 15). Таким образом, трехмерная гиперповерхность S состоит из трех частей Sll S2 и 2 3. На гиперповерхности J sbkd2h = 0,
так как на ней Tui ~ 0, bk = 0. Следовательно, из (6.27) получаем
§ sbh CtSft + ^ sbh d2,h = 0. (6.28)
Si sa
Оба интеграла в (6.28) инвариантны и могут быть вычислены в любой системе. Вычислим первый интеграл в системе 5, а второй в S'. Если предположить, что события bS2 происходят позже, чем события в S1, то внешняя нормаль к S1 ориентирована в отрицательном направлении временной оси, и в соответствии с (4.195) для первого интеграла BdHk = (0, 0, 0, idx-idx^dx^. Поэтому
^ bp dS;, — і ^ b% (X1, х2> -?, х^) dx^ dx§ dx$. (6.29)
s,
(При интегрировании Xi считаем постоянным.)
Для второго интеграла аналогичным образом получаем
$ bkdzh = $ -і $&;(*;, х\) dx\dx\dxz, (б.зо)
2, S2
S
127
Подставляя (6.29) и (6.30) в (6.28), находим, что J bAdV = J b'idV, или с учетом (6.25), (6.21) и (6.24)
CLi Gi = al Gri = invariant. (6.31)
Поскольку эти уравнения должны выполняться для любого постоянного вектора аи связь между Gi и Gi определяется формулой преобразования для
вектора
Gl = aihGk. (6.31')
При доказательстве векторного характера величины Gi было существенно, что тензор Tih всюду регулярен. Если Tik имеет сингулярность на некоторой мировой линии, то эту линию можно исключить из области Q с помощью некоторой поверхности S4, которая затем даст вклад в интеграл J SbhCTZk в уравнении (6.27).
Поскольку Gi — вектор, GiGi — инвариант. Следовательно, теперь по аналогии с (4.51) можно определить полную собственную массу M0 системы уравнением
GiGt = -Mlt*. (6.32)
Далее, из (6.1) и (6.6) имеем
a (Xi Thl-Xh TJldXl = 6И Ты-Ьк1 Til = Thi-Tih = 0. (6.33)
Интегрируя это уравнение по всему физическому пространству с учетом ограниченности системы и используя теорему Гаусса, получаем dj (XiTk4-
— XkTii) JVicixl -- 0, откуда следует, что шесть величин
Mih = ^(Xigk-Xkgi) dV= -Mki (6.34)
не изменяются со временем. Этот результат существенно зависит от симметричности тензора энергии. Методом, аналогичным тому, который применялся при доказательстве векторного характера G1, можно доказать, что величины Mik преобразуются как компоненты антисимметрического тензора — 4-тензора углового момента относительно начала координат.
Пространственная часть этого тензора M^v в соответствии с (4.101) дуальна к аксиальному вектору
M= J(х xg)dV, (6.35)
который представляет собой постоянный вектор полного углового момента
замкнутой островной системы.
§ 6.3. Центр масс*
Можно предположить, что для любой физической системы Gi есть времени-подобный вектор, так что масса M0, определяемая формулой (6.32), действительная величина. В этом случае всегда можно найти инерциальную систему S0 — систему покоя, в которой полный импульс G0 = 0. Тогда, учитывая (6.32), для компонент Gi в S0 имеем
Gj —¦ (0, 0, 0, і Мас). (6.36)
Как и для материальной частицы, скорость и системы покоя S0 относительно системы S равна
u ^c2GlH. (6.37)
* Cm. 196, 192, 201, 166, 17].
128
В механике Ньютона центр масс системы с плотностью массы ц = ц (\t) определяется как точка, радиус-вектор которой равен
Х = (\/М)^ц(х, t)xdV, (6.38)
где M — j \idV — полная масса системы. В релятивистской механике плот-кость массы связана с плотностью энергии уравнением (6.11). Тогда центр масс системы можно определить уравнениями (6.38) и (6.11). Точка, определяемая таким способом, зависит от системы координат, используемой при вычислении интегралов в (6.38), т. е. каждая инерциальная система имеет свой собственный центр масс С (S). В системе S радиус-вектор этой точки X {C(S)} = X (S) определяется в соответствии с (6.38), (6.11) и (6.24) формулой
X(S) = (l/Н) 5А(х, t)xdV. (6.39)
Для островной замкнутой системы из (6.23) получим, что в каждой системе координат д (giX^/dXi^gidih^gu, и при интегрировании по всему физическому
пространству ^giXkdV = Gk. Поскольку H не зависит от времени, при k =
1, 2, 3 это уравнение показывает, что центр масс, определяемый в (6.39), движется относительно S с постоянной скоростью C2GfH, т. е. с той же скоростью и, что и система покоя S0. Следовательно, все центры масс С (S) покоятся в системе S0. Особую роль играет точка C0 = С (S0), т. е. центр масс в самой системе покоя; С (S0) можно назвать собственным центром масс. Если Xi = (X, X4) — пространственно-временные координаты собственного центра масс C0 в произвольной системе координат, то Xi = Xi (т) — линейные функции от собственного времени т этой точки. Кроме того, если Ui ~ dXjdx = {u/]/1 — UiIc2, ісіут — U2Ic2} есть 4-скорость C0, то из (6.37) имеем
Gi = M0Ui. (6.40)
Следовательно, зависимость полного импульса системы Gi от скорости собственного центра масс такая же, как и для материальной частицы.
