Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
367
В первоначальной сопутствующей системе координат S движение галактики определяется из (12.160) решением первого уравнения относительно г
Г2 = г /2 {е-2с*/R Jr г 2IR2}-1, (12.168)
где г' — величина, постоянная для любой галактики. Тогда, в соответствии с гипотезой Вейля, галактики являются свободно падающими частицами, причем их движение начинается из точки г = 0 в момент времени t = —оо и стремится к экватору гр = ат/2 гиперсферы (12.132) с г = R a tоо.
Распространение световых сигналов в S' описывается формулами (10.135), (10.137), где 7ц = Зїц — 0. С учетом изотропии модели находим, что любой
радиус-вектор (O', ср') = const есть возможная траектория светового луча.
Его скорость (10.127) в S' есть
w = {yfiV(dx'i4dt,)-(dx'Vdt,)}^=c. (12.169)
Следовательно, движение луча вдоль радиуса-вектора определяется уравнением ect'/4r'/dtr = dz с, т. е.
dr,[dt, = ±ee-ft'i*. (12.170)
Интегрируя его, найдем для светового луча, испущенного галактикой в точке Pi : (г/, б\, q/j), в момент времени t\ в направлении к началу
r' = r[+R{eTcr/R — (12.171)
До тех пор, пока
/•J (12.172)
сигнал не достигнет начала. Таким образом, хотя мир, описываемый линейным элементом (12.162), явно бесконечен, наблюдатель, находящийся вначале, никогда не сможет получить какую-либо информацию из области, лежащей вне горизонта (12.172). В момент времени t\ наибольшее расстояние внутри наблюдаемого мира, доступное наблюдателю, есть, в соответствии с (12.164) и (12.172)
Gh = ect'l/Re~ct^R R = R, (12.173)
и оно не зависит от времени. Далее, поскольку (12.162) — инвариант относительно смещения начала, то утверждение становится справедливым для лю-
бого наблюдателя, покоящегося в S'; положение горизонта будет, конечно, разным для различных наблюдателей.
В S' кинетическая энергия световой частицы меняется в соответствии с (10.136), где а» = 0, а тензор (10.47) определяется формулой
dv* = (1 / 2) д YvkIdt' = (clR) Yvx • (12.174)
Используя (10.137) и (12.169), получаем
dEldt' = —(clR) (Elc2) Vvx w* = -CEIRt (12.175)
решение которого есть
E(V) = E (/,') е-с (r-t[)/R. (12.176)
Когда галактика испускает сигнал, находясь внутри’области, очерченной горизонтом (12.172), световой луч достигнет начала за время to, которое следует из (12.171), где нужно положить г' = 0. Умножая последнее уравнение
на ecti/R!R и используя (12.164), имеем
е-* (io-ti)lR= 1—а/Я, (12.177)
где
c = ri.erfi/« (12.178)
368
есть расстояние до галактики в момент излучения сигнала, кинетическая энергия которого в момент прихода в начало равна
?$)=?(fj)(l— o/R), (12.179)
что меньше его начальной энергии.
Будем считать, что световая частица—фотон. Тогда из (10.192) следует, что его энергия равна произведению постоянной Планка на стандартную частоту (равную координатной частоте в S'). Поделив (12,179) на h, получим соотношение, связывающее частоту V0 сигнала, испущенного галактикой, покоящейся в 5', и частоту v сигнала, наблюдаемого в начале:
v = v0(l —olR). (12.180)
Следовательно, спектральные линии галактики оказываются сдвинутыми в красную сторону на величину
A^o/Vo= (v—Vo)/v0= —o/R. (12.181)
С точки зрения наблюдателя, находящегося в S', этот космологический эффект не является ни эффектом Доплера, ни эффектом Эйнштейна согласно рассуждениям § 10.7, так как в S' источники покоятся, а гравитационный потенциал всюду исчезает. Для него это скорее эффект разбегания, обязанный изменению во времени пространственной части метрического тензора, который
приводит к изменению кинетической энергии частицы точно так же, как если
бы частица двигалась в инерциальной системе, но по поверхности переменной формы. Ho формулу красного смещения (12.181) можно переписать в виде, напоминающем нерелятивистскую формулу Доплера. Хотя в рамках гипотезы Вейля скорость источника относительно Sf равна нулю, его расстояние о
до наблюдателя увеличивается с течением времени в соответствии с (12.178).
Определим скорость V галактики относительно наблюдателя как производную по времени от а:
v — do/dt[=calR. (12.182
Из (12.173) видно, что эта скорость меньше с для всех галактик, лежащих в пределах горизонта. Учитывая (12.181) и (12.182), для космологического красного смещения получаем формулу
Д v0/V0=—vjc. (12.183)
Это выражение формально тождественно нерелятивистской формуле Доплера (2.90) в инерциальной системе.
Модель Вселенной де Ситтера совместно с гипотезой Вейля соответствует
наблюдаемым данным, если для постоянной Хаббла H принять величину
clR, или
R = ClH. (12.184)
Тогда (12.182) и (12.183) будут представлять собой точные записи законов Хаббла для расширения Вселенной и наблюдаемого красного смещения в спектрах удаленных галактик.
В 1929 г. Хаббл получил значение
H = 540 кмеек-1 Mnc-1, (12.185)
которое позже неоднократно пересматривалось в связи с изменением шкалы космологических расстояний. He так давно Сэндейдж [215J предложил новое значение для постоянной Хаббла
