Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
где снова использовали (9.340) и (9.337), (9.339).
Таким образом, величины Гг>ьг, заменяющие символы Кристоффеля в стандартном тензорном анализе, имеют вид
Г,, JtI-Tii ki + QikV
(6* Г, +Vrft-Qft/f,)/c= -Qhir
Здесь Qik — ограниченный стандартный тензор (9.341) с компонентами (9.343) — (9.345). По аналогии с последней формулой (9.78)
Гг, ы Гй( ц = Tii к1 + Tll ц — dlg/ll. (9.355)
(9.354)
(9.346)
(9.347)
(9.348)
(9.349)
При X=O пространственные части (0) всех тетрад e|vj (0) (12.99) являются тремя 3-векторами, лежащими вдоль направлений трех пространственных координатных осей. Однако спустя один оборот, т. е. при t= 2л/сй и %= 2л/Гсо, ,величины (2я/Г(о) уже не тождественны трем векторам (0), что и является физическим содержанием эффекта, открытого Фоккером.
Введем систему координат S, определенную в (9.155), которая в нашем случае яа-
“ 00Il0
ляется свободно падающей локально лоренцевой системой S : (Xм", сі) с гироскопом, помещенным в начале координат Jct* =0, соответствующей локально инерциальной системе R. Последняя может быть реализована с помощью спутника, несущего гироскоп по круговой орбите вокруг центрального тела. Ориентация гироскопа постоянна по отношению
к пространственным координатным осям R, которые, однако, прецессируют по отноше-
нию к внешнему миру. Иначе говоря, направления к «неподвижным» звездам должны пре-цессировать по отношению к осям R. .
В системе отсчета R, соответствующей шварцшильдовым координатам S, гироскоп описывает круговую орбиту. Обозначим через р0 точку на орбите, которую гироскоп проходит в момент ^=T=O. Световой луч от определенных фиксированных звезд, приходящий в Ро> описывается волновым 4-вектором (10.165) с компонентами Кг (Po) = Kj (0) в S. В момент времени t = Гт гироскоп проходит через точку р, в которой тот же волновой вектор имеет компоненты Ki (р) = Ki (т), в общем случае отличные от Кг (0). Однако в моменты времени
t = tn = п2л/ы, T Tn . /г2л/Га), (12.100)
соответствующие п полным оборотам гироскопа, когда он снова оказывается в р0> в статической системе S
К; (Tn) = Ki (0)- (12.101)
О
С другой стороны, компоненты Ki (т) волнового вектора в системе 5 уже не принимают первоначальных значений после п оборотов. В соответствии с (9.159) имеем для
них
к;* (т) = ? Kj (т)=е[й)(т) Kj(T). (12.102)
Подставляя выражение (12.99) для e\k) (т) при т = Ttt и т = 0 в формуле (12.102)
О о
и используя (12.101), легко получаем соотношения между Kfe (тп) и К& (0):
Ki (тп) = Kx (0) cos п -Q + Кз (0) Sin rcfl;
Kg(Tn) = — Kt (0) sin яд + K3 (0) cos яд; (12.103)
K2 (Tft) = Кг (0), К4 (тп) = К4 (0);
¦д = 2я(1—Г-*) > 0. (12.104)
Мы использовали при этом (12.100), из которого следуют выражения
ют» —я2л/Г = я 2л. — яф;
(12.105)
cos (отп = cos піт: Smtorn = —5іпяф.
Поскольку система S лоренцева в точке, где помещен гироскоп, Kj тождествен волновому вектору К;, а из (10.188) находим выражение для единичного вектора е, определяющего направление луча в S:
е°д (т) = -Kfl (т)./K4. (12.106)
Итак, формулы (12Л03) ведут к следующим соотношениям между направлением луча света е (тп) и первоначальным направлением ец (0):
*1 (Tn) = (0) cos л# + I3 sin п$;
ез (хп) = — C1 (0) sin яф + <?°з cos яд; (12.107)
е°2 (тп) =е2(0).
Следовательно, после п оборотов гироскопа внешний мир (направление на «неподвижные» звезды) кажется повернутым на угол п$ относительно оси х2¦ Направление прецессии идст от оси X3 к оси X1. Конечно, этот эффект можно выразить как прецессию
360
гироскопа в противоположном направлении, т. е. в направлении вращения по орбите. Эта прецессия Фоккера, таким образом, имеет направление, противоположное прецессии Томаса [см. (2.66)].
Угол прецессии за один оборот есть величина первого порядка по а/г,
§ = 2я{1 — (1— 3а/2г)1/2} = 3жх/2г. (12.108)
Если гироскоп укреплен на искусственном спутнике, не слишком удаленном от Земли, то величина прецессии Томаса будет порядка
¦ф - nbx.7"Jeod. (12.109)
Начиная с момента опубликования статьи Шиффа [218], в США была развернута интенсивная программа исследований с целью обнаружения этого эффекта в недалеком будущем.
Вопреки значительному прогрессу в экспериментальных исследованиях, достигнутому в последнее десятилетие, прямых проверок ОТО все еще очень мало. Здесь уместно напомнить, что общая теория относительности является не только естественным, но и убедительным обобщением хорошо подтвержденной экспериментально специальной теории относительности. Кроме того, поскольку теория Эйнштейна содержит теорию тяготения Ньютона в качестве первого приближения, все многочисленные астрономические наблюдения, согласующиеся, конечно, с теорией Ньютона, в некотором смысле мы можем рассматривать уже как косвенное доказательство справедливости общей теории относительности. Тот факт, что различия между этими двумя теориями
выступают лишь как малые поправки в физике Солнечной системы, говорит
о хорошей применимости теории Ньютона в этой области. Однако в космологических вопросах, когда рассматривается структура и движение больших частей Вселенной, мы встретимся уже со значительными расхождениями между ними и выбор между теориями станет более необходимым. Учитывая, однако, внутреннюю согласованность и общность исходных постулатов теории Эйнштейна, следует ожидать, что она является более надежной базой в решении трудных космологических проблем.
