Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
dr2 + г2 (dQ2 +sin^ 9 dcpa) ^ dx2 +dy2 +dz2 . „2 J4g\
(I+ZrViR2Y- (1+?г*/4Я*)а ’ }
ptdr2 + r2 (dQ2 + sin2 Є d<p2) _ ^dx2+dy2 +dz2 П2 149}
(l+?r2/4Ka)a (l+?r*/4)a ’ 1 '
где
? = (+1, 0,-1). (12.150)
365
Кривизна пространства
х = UR2 (12.151)
может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости
от значения ? в (12.150). Ho только значение ? = + 1 совместимо с уравнениями
поля в статическом случае. Это соответствует космологической модели Эйнштейна, для которой R2 определяется формулой (12.120).
§ 12.7. Вселенная де Ситтера
Кроме решения, соответствующего модели Эйнштейна [условие (12.114)1, имеется другое статическое, однородное и изотропное решение общих уравнений поля, подчиняющееся условию (12.115), т. е.
?°с2 + р=0. (12.152)
Суммируя уравнения (12.112 а) и (12.112 6), получаем
(aby —у. (jl0c2 + p) a2br = Q, или ab = const-
Тривиальным изменением масштаба временной координаты эта константа всегда может быть сведена к единице, т. е.
ab — 1. (12.153)
Вводя у — l/а, уравнение (12.1126) перепишем в виде {уг)' = у'г + у ~ = -fl — (Я + х р° с2) г2 и, интегрируя его, получаем
уг = г—((Х4-хр0с2)/3) г3+ const. (12.154)
Поскольку у регулярно при г — 0, константа в правой части (12.154) должна быть равна нулю. Тогда из (12.153) имеем
b = Ma = у = I — r2/R2, (12.155)
где мы положили
1 /7?2 = (Я+хДо с2)/3. (12.156)
Используя (12.155) в (12.110), получаем затем линейный элемент де Ситтера
ds2 = dr(I — г-jR2)-1 + г2 {dQ2 + sin2 0 dcp2) — (I — г2/R2) с2 dt2. (12.157)
Компоненты пространственного метрического тензора такие же, как и в модели Эйнштейна (12.127), по крайней мере в том случае, когда Я положителен. Однако динамические потенциалы теперь не все равны нулю, и мы имеем
Yn = O ,% = -r2cV2R2. (12.158)
Следовательно, свободная частица испытывает действие гравитационной силы центробежного типа
K=—т grad % — m{rc2/R2, 0, 0), (12.159)
а это значит, что закон инерции не выполняется для больших пространственных областей модели де Ситтера. Только в областях, где r2/R2 1 линейный
элемент (12.157) сводится к линейному элементу специальной теории относительности, закон инерции будет приближенно выполняться.
Уравнение движения свободной частицы можно теперь получить из (10.76) и (10.77), используя выражение для гравитационной силы из (12.159). Более удобно, однако, использовать возможность, рассмотренную в § 9.15 и состоящую в исключении динамических потенциалов введением гауссовых коорди-
366
наг, Это возможно, если ввести новые переменные г', 0', <р', t' с помощью преобразования
г' = T (1 — rW)-y* е-с*/я 0' = 0, ф' = ф,
г = f + (J?/2c)ln(l — г№). (12.160)
Как было показано Леметром [1381 и независимо от него Робертсоном 1206], это преобразование ведет к новой записи линейного элемента:
ds2 = Q.2ct’ /r (dr*3 + г’г dQ'z г’2 sin2 0* ??ф **)—Ca dt'^t (12.161)
которая легко проверяется непосредственными вычислениями. Наконец, определяя новые пространственные координаты (х’t у', г’), связанные с (Ґ, 0', ф', /') обычными формулами перехода от сферической системы координат к декартовой, линейный элемент (12.161) можно записать по-иному, т. е.
ds2 - e2ct' / я (dx’ ' + dy'* + dz#3) — с2 dt (12.162)
Новые координаты (х', у', z', Ґ) принимают все значення в интервале от —оо до + оо. В отличие от первоначальной системы координат S: (г, 0, ф, t), новая
о
система (S') не является сопутствующей материи |х°, рождающей гравитационное поле в мире де Ситтера.
В системе S' мы имеем
Yu = Yaa = Yas = 1 /у11 = 1 /у22 = 1 /у33 =
Ynv = Tftv = O ПРИ (12.163)
Ytt = O1 X = O.
а пространственные символы Кристоффеля все равны нулю.
Таким образом, временная переменная Ґ указывает время, отсчитываемое стандартными часами, покоящимися относительно S'. В любое фиксированное Ґ пространственная геометрия евклидова, координаты (х', у', z’) являются обычными декартовыми координатами, если не считать общего множителя е2с*'/я, а расстояние от начала г' = 0 до точки (г', 0', ф'), измеряемое стандартными масштабными стержнями, есть
о = ес<'/*г'. (12.164)
Гравитационная сила равна нулю, и уравнения движения свободной частицы даются формулами (10.52)
DO) pjdt' =dpjdt' = dme2et‘t* x'vjdt' = 0. (12.165)
Это значит, что
Xli = O, X^=JCgfi = COnst
есть решение этих уравнений, т. е. свободная частица, первоначально находившаяся в покое, будет продолжать покоиться в системе S'. В момент V стандартное расстояние о (1,2) между двумя частицами с постоянными координатами X11V- и X^ есть
<т(1, 2) = ect'/R [(х^—хУ) (х'-а—х^)]1'*, (12.166)
а относительное изменение этого расстояния подчиняется условию
(da/di')/a — с IR. (12.167)
Если мы предположим, что галактики покоятся в системе S' (не принимая во внимание их малые индивидуальные скорости), т. е. примем известную в свое время гипотезу Вейля [277, 278], то получим описание, близкое к действительному поведению систем галактик в реальной Вселенной, которая, согласно законам Хаббла, расширяется однородно и изотропно.
