Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Теорема Гаусса
Пусть V—конечная область, ограниченная замкнутой поверхностью / в трехмерном евклидовом пространстве, a f (X1X2Xs) — заданная функция декартовых координат X1, х2, х3, определенная на этой области. Рассмотрим объемный интеграл ^(df/dx-^dxidxidxa
V
на V. Полагая поверхность / выпуклой, так что прямая, параллельная оси X1 (при постоянных X2 и х3), пересекает ее только в двух точках, этот интеграл можно, интегрируя по X1, привести к виду
j (df/dxj dxxdx2dx3 =J (/+—/-) dx2 dx3l (I)
і Il
где интегрирование в правой части выполнено по проекции поверхности / на плоскость (xs, х3), а /+ и /- — значения / в точках р+ и р~. Пусть, далее, df+ и d/^— поверхностные элементы f в точках р+ и р~ соответственно, проекции которых на плоскость (х2, ха) равны элементу (dx2dx 3). Если п+ = (/г^, п2 , п?) и n~ = (ftf, п2 , п3) — единичные векторы
в направлении внешних нормалей к df+ и df- и если х^~ > х~, то очевидно
nfdf+ = — H1 df~ =dx2dx3. (2)
Следовательно, (1) можно переписать в виде
Г (Bffdx1) dV = f/. ^df, (3)
V і
где интегрирование справа распространено на всю поверхность f, a M1 есть ^-компонента вектора внешней нормали п. Легко видеть, что (3) справедливо и в том случае, когда ограничивающая поверхность f невыпуклая, т. е. когда соответствующая прямая пересекает поверхность в большем числе точек. Аналогично если g (xlt х2, х3) и h (xlt х2, Xs) — две другие заданные в области функции пространственных координат, то
j1 (dg/dx2)dV =J g ¦ n2df;
V і Г (dh/dx3)dV = ГА . Iiidf.
V /
Если, в частности, /, g и h являются компонентами O1 (х), а2 (х), а3 (х) а = (а ), то в дополнение к условиям (3) и (3') имеем
или
J div ad.V = [ (а ¦ n) df = J ап df,
V ) f
где ап — компонента вектора а в направлении внешней нормали. Уравнение (4') дает возможность преобразовывать объемные интегралы в поверхностные; оно выражает теорему Гаусса (4.191). Из вывода ясно, что (4) справедливо для любых трех функций (х),
которые не обязательно должны быть компонентами вектора.
Далее, если t (х) — трехмерное тензорное поле ранга 2, то, полагая = /,
t]i2 = S и = h> получаем из (3) и (3')
I (dtu,vldxv) -dV = J ( *jiv dI. (?
V }
т. е. уравнение (4.196). И снова ясно, что (5) будет справедливо, даже если девять функций (х) не будут компонентами какого-либо тензора.
векторного ПОЛЯ
(4)
(4')
380
2. Преобразование 4-плотности тока
В соответствии с уравнениями (5.4) и (5.4') формулы преобразования, связанные с плотностями 4-тоха Sj и Si в двух инерциальных системах отсчета ShS' должны быть такими, чтобы условие
ds^dxf = 0 (1)
немедленно следовало из условия
dsi/dxi = О (Г)
для всех возможных распределений заряда и тока.
Преобразование, следовательно, должно иметь вид
Sf = h (Si, S2, Sg, S4), (2)
где функции /;• удовлетворяют условиям
dfildx' г (dfi/dsh) (QshIdxi) (dxijdx'J) = (dft (sm)/dsfe) Sfeii = 0 (3)
при всех изменениях двенадцати переменных Sj и SfltI ^ dsk/dxi, что дает
St, і = 0. (4)
Умножая (4) на лагранжев множитель X, который может быть функцией переменных (Si), и вычитая полученное уравнение из (3), приходим к уравнению
[(d[i/dsk) CCiI-ISkl i] sk< і= 0, (5)
которое должно оставаться справедливым при произвольных вариациях Si и SflJ. Варьируя переменные Sfc,;, получаем
(SfdIdsh) CCiI^l(Sr) (6)
или, используя соотношения ортогональности (4.14),
(dfi/dsh)^X(sr)a,ih. (6')
Из уравнений (G), дифференцируя по sm, находим (д3 f -Jdsh dsm) au = (dX/dsm) SjtI, а поскольку левая часть симметрична по индексам k и т, то IdXjdsm) 8ы~(дХ/dsh) Smj.
Полагая т = 1 ф k в этом уравнении, получаем
dl/dsh=0, (7)
т. е. X не должно зависеть от Si- Интегрирование (6) дает /; (sk) = XaikSh + где
PiVi и Я — константы. Если плотность электрического заряда в S равна нулю (т. е. Si = 0),
то она должна быть равна нулю и в S'. Следовательно, [3;? — 0, и преобразования (2)
примут вид
Si=XaihSh. (8)
Из (4.11), (5.3) и уравненлй (8) теперь следует s'ts'i = X2SkSkl или
P,2(l— и’2Jс2) = X2 (l-~u2Ic2). (9)
Используя те же аргументы, что и при выводе (2.8) и (2.14), найдем, что квадрат X должен быть равен единице, т. е.
X2= I, X= ±1. (10)
В классической формулировке электродинамики плотность заряда является скаляром относительно отражений (4.94), а это значит, что в (10) мы должны выбрать верхний знак. Тогда (8) ведут к преобразованию (5.5), показывающему, что плотность 4-тока является 4-всктором. Как было показано ранее в книге, заряд является инвариантом, a Fih преобразуется как тензор при преобразованиях Лоренца.
Однако в соответствии с (10) можно было бы положить X равным детерминанту преобразования (4.15), т. е.
X= а. (11)
Тогда в соответствии с уравнениями (8) Si оказалась бы псевдотензором ранга 1 (см.
§ 4.10), а заряд частицы изменял бы знак при пространственных отражениях (4.94). Кроме того, из (5.16) следует, что Fik теперь есть псевдотензор, а это значит, что H становится полярным вектором, в то время как E — вектор аксиальный. Хотя этот вывод и кажется странным с точки зрения общепринятых соглашений, на самом деле мы не можем сейчас еще экспериментально определить, какая из двух возможностей соответствует действительности. В самом деле, действие поля на заряженную пробную частицу
