Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
— (I -f-2%/c2) c2 dt2,
(11.37)
где X дано в (11.36).
Пространственная часть линейного элемента
dcr2= (1 —2х/с2) (dx2-}- dy2-{-dz2)
(11.38)
(11.39)
ds2== (I +2kM(>lc2r)(dx- + dy‘2 + dr) — (\—2kMalc2r)c-dt2; (11.40)
r=z Iх X I.
309
io S, и эти устранимые гравитационные поля должны удовлетворять тем же общим полевым уравнениям, каким удовлетворяют поля неустранимые. Приближенное решение (11.34) для слабых полей не позволяет непосредственно изучить эффекты от удаленных небесных масс, но можно ожидать, что вращающийся сферический слой однородно распределенной материи даст тот же эффект внутри слоя, что и удаленные небесные тела.
Если слой покоится, потенциал %, определяемый выражением (11.36), постоянен внутри слоя и равен % = —kMJR, т. е.
2 г!с% = — (хс2/4л) (M0 IR), (11.41)
где M0 — полная масса, a R — радиус слоя.
He считая констант (1 — 2х/с2) и (1 + 2х/с2), которые можно устранить простым изменением масштаба пространственной и временной координат, линейный элемент (11.37) имеет внутри слоя ту же форму, что и в СТО. Если слой движется с постоянной скоростью, то надлежащим преобразованием Лоренца линейный элемент внутри слоя снова можно свести к релятивистскому. Это непосредственно вытекает из (11.34), если использовать выражение для равномерно и прямолинейно движущейся материи. Ясно, что в этом случае удаленные небесные тела не создают в инерциальных системах никаких гравитационных сил.
В случае вращающегося слоя материи, как показал Тиррииг Г255, 2561, поле внутри слоя 1см. (11.30)] подобно полю во вращающейся системе координат, следовательно, создаваемые гравитационные силы подобны силам центробежным и кориолисовым.
Интересно, что зависимость от угловой скорости гравитационной силы, действующей на пробную частицу внутри слоя, точно такая же, как и во вращающейся системе, но движущейся в противоположном направлении относительно системы инерциальной. Векторные потенциалы у(1, приводящие к силам типа кориолисовых, даже зависят от координат обычным образом. С другой стороны, скалярный потенциал имеет такую форму, что приводит, помимо обычных центробежных сил, к неисчезающей компоненте силы вдоль оси вращения. Чисто радиальный характер центробежной силы означает, что приближенные уравнения (11.30), для единственности решения которых требуется точная формулировка граничных условий на бесконечности, не в состоянии адекватно описать динамику мира в целом. Это и не удивительно, поскольку некоторые из наиболее характерных особенностей точных уравнений (11-12) теряются в их приближенном варианте; например, существенно нелинейный характер уравнений исчезает в случае слабого поля. Кроме того, уравнения (11.12) содержат Х-член, важный в космологических задачах. Указанные обстоятельства существенно меняют проблему постановки граничных условий (см. § 12.6). В любом случае, однако, силы, действующие на пробную частицу внутри слоя, слишком малы, чтобы быть измеренными. Это и объясняет отрицательный результат эксперимента, выполненного Фридлендером в 1896.
Упражнение
Рассмотреть массивное кольцо с массой M н радиусом R, вращающееся по часовой стрелке в плоскости х, у с постоянной угловой скоростью CO. Используя (11.34), вычислить гравитационный потенциал hik в точке (х, у, г) на расстоянии г от центра, где г < R.
Показать, что зависящие от со части векторного и скалярного потенциалов определяются формулами
Уа = [Mxc2HnR) (idle) { — у, X, 0}; \ w (11.42)
X = -(Afxc2/ 16лЯ) (со2/2) (x2+y2—2z2). J
За исключением члена (—2г2) в последнем выражении, зависимость Yjl и х от координат оказывается такой же, как и в системе координат, вращающейся относительно оси г против часовой стрелки, когда линейный элемент дается формулой (8-91). Это выражение
310
наводит на мысль о связи констант и, с2, массы Вселенной M и среднего расстояния R до космических тел, выражаемой соотношением
Mxc2/4nR ss 1 (11.43)
(ср. с § 12.6),
Наконец, если рассмотреть с помощью (11.30) и (11.34) нестационарное движение материи, то возникает тесная аналогия с волновыми уравнениями теории электромагнетизма, из которой, вообще говоря, следует, что произвольно флуктуирующая материя генерирует переносящие энергию гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью света [77]. Вопрос о том, насколько этот строгий результат, полученный, однако, в рамках приближенной линейной теории, будет справедлив в полной нелинейной теории (11.23), не выяснен и в последние годы очень широко обсуждается в литературе. Мы вернемся к нему в § 11.11.
Упражнение
Рассмотреть произвольно флуктуирующую островную материальную систему. Вычислить функцию (Jkiai /) на большом расстоянии R = (.ViaJC11) 1/2 от системы. Для точки (je1*) в направлении п11 ~ xilZR имеем
r = R — пх' +O1, (11.44)
где n-x' = nvxv = nvx \ a On есть член, содержащий я-ю степень отношения средних размеров системы I к расстоянию до нее R. Следовательно,
Hkixli, i) = (x/2nR) aik(u, n)-f02, (11.45)
где
aik{u,п)=| Tik (x'\u + nx') d(^ x';
