Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Это выражение справедливо вне сферического распределения материи, причем, поскольку при г = г0 имеет место сингулярность, определяемая уравнением
1 — а/г0 — 0, (11.84)
сама материя должна быть распределена в области с радиусом, большим по сравнению с критическим (11.84). Только в этом случае координаты Шварцшильда удовлетворяют условиям (8.52). Сингулярность при г = г0 не может быть полностью устранена выбором других «статических» координат. Линейный элемент можно записать в другой форме, если выбрать, например, «изотропные» координаты г', в, ф, t с помощью преобразования
г = г’ (1 +а/4г/)2; /-'=-^-{(г2—аг)1>'2-(-г—а/2}. (11.85)
В этом случае линейный элемент принимает вид ds2= (l + —V (dґ"2 + гҐ2dd2 + ґ"2 siп20 rfф2)—{'1 а/АҐ)8с2dt2. (11.86)
V ^ 4т’) К ’ (1+а/4г')а V '
315
Сингулярная точка г0 = а имеет теперь новую координату r' = а/4, и видно, что в (11.86) сингулярность в пространственной части элемента отсутствует, но имеет место в ^44. Как было показано Серини [225], Эйнштейном [80] и Паули [82], несингулярных решений уравнений гравитационного поля для пустого пространства, которые были бы стационарны и имели бы на бесконечности g44 = = —I -f const//-, не существует. Как мы сейчас увидим, требуемая форма g44 просто означает, что мы имеем дело с полем вне массового источника. Скалярный потенциал, который, разумеется, является инвариантом относительно Преобразований (11.85), имеет следующий вид в двух системах координат (11.83) и (11.86) соответственно:
% = (— 1)с2/2= — ас2/2г;
%' = (—g'u — 1)с2/2= —<хсг/2г' (1 + а/4г')2.
Ha больших расстояниях, когда поле слабое, оба эти выражения сводятся к ньютоновской форме (—Ox2IfIr = ас"12г'), которая показывает, что константа а может быть связана с активной гравитационной массой М, генерирующей поле, соотношением
а = 2 ItMIc2 = KC2MIAn. (11.88)
Все известные системы в природе имеют положительную активную гравитационную массу М, поэтому наложим условие
ct > 0, (11.89)
хотя, как легко видеть, уравнениям поля не противоречит и отрицательный знак перед а.
В области, где поле уже слабое, метрику (11.86) можно представить в виде
ds2 = (I air') (dx2 + dy2 + dz-) — (I —air') c~ dt2, (11.90)
где мы положили
х— ґ sin0coscp; у= r' sin0sincp; z=r' cosG. (11.91)
Принимая во внимание (11.88), видим, что выражение (11.91) тождественно статическому решению (11.40) линейно аппроксимированных уравнений поля (11.30).
Как было впервые замечено Леметром [140], сингулярность в линейном элементе может быть устранена, если ввести нестатическую систему координат г’, 0, ф, f преобразованием
г —(9а/4)1‘/3>(г'—сГ)2/3; cdt' =cdt-\- (а/r)1'2 drj(l — а г). (11.92)
В этом случае линейный элемент (11.83) принимает вид
ds2 — a dr'2! г -f г (<i0‘“ + sin2 0 <іфа) — с2 dt '2, (II .93)
где зависимость г от ґ и Ґ определяется (11.92). Сравнение (11.93) с (9.269) показывает, что новая система координат является гауссовой, т. е. динамическое действие гравитационного поля в ней устранено, а динамические потенциалы (Yp,, х) равны нулю. Движение какой-либо планеты в этой системе описывается уравнением (10.52), т. е. ковариантные компоненты вектора импульса частицы в момент (Ґ -f dt') получаются из соответствующих значений в момент Ґ параллельным сдвигом в пространстве с линейным элементом:
da2= — dr'2-j-r2(d0* +Sin2Ocftp2). г
Учитывая, что г зависит от времени, мы не получаем при этом жесткой системы отсчета, и движение планет в этой координатной системе выглядит очень сложно.
(11.87)
316
Упражнение I
Проверить, что мировые линии пробных частиц в системе координат Леметра S' (11.92), т. е. точки с постоянными значениями (/, 0, q>), удовлетворяют уравнениям (9.271) ст = Ґ. Хотя начальные условия при t' = 0 отличаются от (9.270), этот факт означает, что система отсчета R', соответствующая S', состоит из свободно падающих пробных частиц, и что координатные часы в 5' являются стандартными часами, покоящимися a R'. Проверить, что функция ct' = f* (*) в (11.92) с производными
Dfi (х)/дх‘= {(alr)i/'2/(i — a!r), 0,0, 1} удовлетворяет уравнению (9.279).
Упражнение 2
Показать,- что преобразованием
P = г—а/2; = (рsin0 cos tp, р sin 0 sin tp, р cos 0) ;(a)
можно получить «гармоническую» сйстему координат X1 — (л;^, сі), соответствующую решению Шварцшильда (11,83).
Проверку можно выполнить в такой последовательности.
1) метрика в новых координатах имеет вид
^uv = O+ а/2р)2 6HV + [Р + «/-)/(Р — а/2)] (а2/4P2) Xй ,
ga = —Su(p — се/2) (р+а/2); (б)
2) *=-(1+а/2р)а; (в)
3) ( —g)1 /2 ^jiv = Sjiv-Ci2 X11 XvIApi,
(~g)l/2 = (1 +а/2р)3/(1—а/2р); (г)
4) {(-?)1/2?'*}.* = 0. (д)
Последнее ураввение показывает, что условия де Дондера (9.280) удовлетворяются,
так что система координат, определяемая уравнением (а), гармоническая.
Упражнение 3
Показать, что преобразования
*'u = {<P + a/2)/p} Xv", р' = (х,!г *'ц)1/,2 = р+а/2
приводят к системе координат х1 = (*'*1, ct) типа (9.282), (9.282'). Метрический тензор в такой системе будет иметь вид
