Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
чего, как показано в § 9.15, всегда можно достичь соответствующим выбором пространственно-временных координат.
Теперь введем два антисимметрических пространственных тензора #^v и S^v и два вектора и ?>:
Тогда, используя (10.285) и (10.286), из (9.38) и соответствующих соотношений для пространственных тензоров получаем
е = ё,
т. е. инвариантность полного заряда доказана. Из (10.273), (10.277) и (10.64) имеем
(10.282)
Si = (ртс Y1 + 2%/с2, р/ Y \ + 2%/с2),
(10.283)
так что уравнение непрерывности (10.274) можно записать в виде
или
а• і 15 (Vt р) л
div pu -j-----— L- = 0.
l/v dt
Vy
(10.284)
Tm-- 8&і — Ynv — SVv» Sn—I+2%/c,
(10.285)
pnv = fjw/y і j. 2%/c2 = B^ \ F»4 =- —Dv-lV I + 2%/c2 = = _?»V( 1 + 2%/c2).
(10.286)
Эти величины связаны соотношениями
?^ = Я^/]Л+2%/са; D= EjV I + 2%/с2 .
(10.287)
— §м gvm Fm- UjiJ. gva F^a — Ун*. Yva B^a — Bvlv — H^fV 1 ~t~ 2%/с2;
?д4 = gvn §4т Flm = Viiv (1 + 2%/с2) Dv/У 1 + 2%/с2 = (10.288)«
і
= 1^(1+2%/с2)2 =Evi
299
(10.290)
В этих обозначениях уравнения (10.272) можно записать в трехмерной тензорной форме:
rotm* {?цу} = О*. TOtfjiv E = — (1/с) дВф/ді; )
dwv{Hw} = [l/Vy) (l/c)d{Yy DP)/dt = puPlc; divD = p, J <10-289)
где
rotjlv; (Biav) = OBlivJdxx + dBvi/dx* -f QBiJdxv; rotuv E ¦ dEvfdxi1—dE Jdxv; div^1 {Я^}= (l IYy) д (У У FItxv)/дх^; div D = (l /Yy) d{Yy DvlIdxii
— трехмерные ковариантные дифференциальные операторы. Определяя в соответствии с (9.74') аксиальные векторы В, H1 дуальные к антисимметрическим тензорам Bliv, Htxx', получаем
B>=(l/J/v)BM; Bs=(UKJ)B31; B» = (WKv)Bu; I Hl=VyH**; H1 = YylP'-, W3=Zvff12- I
Учитывая (9.74") и (9.205), уравнения Максвелла (10.289), (10.283) представляем в обычной форме:
rotE = _(l/c).(l/K7)d(/fB)/ft; div В = 0; I
, J.---. : ,____ f (lU.2J2l
rot H=—(l/Yy ) d [Yy D)/cdt = pu/c; divD = p, J
где rot E и rot H — векторы, дуальные тензорам Totliv E и Totliv H соответст-
венно. В жесткой системе отсчета, где у не зависит от времени, векторные уравнения (10.292) совпадают с феноменологическими уравнениями Максвелла в материальной среде, а поскольку соотношения (10.287) можно представить в виде
D = eE; В = [Д.Н; (10.293)
е = [і = l/У I -f- iIrItc1, (10.294)
то мы видим, что гравитационное поле помимо воздействия на пространственную геометрию дополнительно создает тот же эффект, что и покоящаяся сплошная среда с диэлектрической и магнитной постоянными (10.294).
§ 10.10. Электромагнитные силы и тензор анергии
Электромагнитная 4-сила, действующая на частицу с зарядом е, в соответствии с (5.85) равна
Fi = [е/с) Fih UK (10.295)
Компоненты этого вектора с учетом (10.64) и (10.288) можно записать в виде
Fi = (е/с) (Fiiv Uv + FiliUi, Fiv Uv) = еТ (E^1 +BlivUvZc, -EvUv/с). (10.296)
Для рассматриваемого здесь случая, когда у = 0, канонический импульс Pil (10.92) равен импульсу Pil в (10.68). Кроме того, из (10.101) видно, что каноническая сила равна координатной силе 3. Поэтому в соответствии с (10.99) її (10.100) имеем Fi = Г (lJli, —lSixUtxZc). Сравнение этого выражения с (10.296) показывает, что электромагнитная сила, действующая на движущуюся заряженную частицу, равна
5ц = е (Esi + BlivUvJc). (10.297)
Эту формулу с помощью (10.291) можно записать в виде
5-е(Е + ихВ/с), (10.298)
где иХВ — векторное произведение (9.74").
300
.Лировая линия частицы описывается уравнениями (10.3), которые в данном случае эквивалентны уравнениям движения (10.80), (10.103), где сила $ определяется в (10.298) и
и* = 5Чі = еЕи.
Когда внешнее гравитационное поле статическое, то уравнение (10.103) упрощается:
dHldt=$u = e Eu. (10.299)
В случае непрерывного распределения заряженной материи сила, действующая на элемент dV, определяется формулой (10.298), где е — рdV. Поэтому плотность силы f должна быть равной
f = p(E + uxB/c). (10.300)
Это выражение формально совпадает с выражением для силы (7.74), определенной из тензора энергии Минковского для материальной заряженной среды в отсутствие тока проводимости.
Соответствующая 4-сила (5.93) равна
f I = FihSk, (10.301)
что с учетом (10.283), (10.288), (10.295) приводит к выражению
j_
/г — {f/( 1 + 2%/с2)2 » — (fu)/c*}, (10.302)
которое можно представить в следующем, аналогичном (4.218) виде:
= —(fu)/c), (10.303)
где f; = V—gfi', f = — векторные плотности.
Поскольку в локально инерциальной системе справедливы уравнения
(5.105), (5.106), в произвольной системе 5 имеем
ft = —div, {S?} я -Skiik =
<10-304)
где
5? = Si = S^ = Fil Fld — 6/ (1/4) (Ftm F^) (10.305)
— электромагнитный тензор энергии. Формула (10.304) является следствием
уравнений поля (10.272) и соотношения (10.301).
Подставляя (10.286), (10.288) и (10.291) в (10.305), получаем выражения
для различных компонент тензора S?:
Sl= — #//1+2%/с*'; tl = H,,В? + EliDv-Sl (ED + НВ)/2; (10.306) Si*=-(ЕхН)»*// 1+2%/с2 ; Si = — (ED + HB)/2/l+2%са; (10.307) S* = (DxB)(i/|/'l+2%/ca, (10.308)
