Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 2
Показать методом, аналогичным использованному на стр. 91, что (псевдо) инвариантность величины
— d Si и‘}с = е^1т dx‘ Sxk Ax1 UmJc = ^d 2? Uoiіс 110.262)
при
dxA =Sxi-Axt = O -10.263)
приводится к формуле преобразования (10.237) для объема
SV7 = ]’>л Gllivjl dx^ 6xv Axt (10.264)
инфинитезимального параллелепипеда, движущегося со скоростью и. Показать, используя (9.360), (9.361), что для (псевдо) тензора еімт. (9.48) стандартный сопряженный тензор еІМт равен:
єікІт~У SlkIm- (10.265)
Поэтому
— dZ( UiIC= —dltulic =^eikImdxiTxk AxlUm/c = -d 2? Uoi, (10.266)
где Um, dx1 и т. д.—определяются формулами (10.36) и (9.330). Полагая в (10.266)
^ = Sx4==Ax4 = O, (10.267)
получаем
SV = SV0Zf, (10.268)
где
6К = уй ^iav3l dx11 bxv Axk, (10.269)
а Г — стандартный множитель Лоренца (10.35). В соответствии с (10.263) 6V в (10.264)
представляет собой объем мгновенно зафиксированного (в смысле координатной одновременности) движущегося параллелепипеда. Аналогично 61/ — объем мгновенно зафиксированного (в смысле стандартной одновременности) (см. стр. 271) движущегося тела, Заметим, что в S0 стандартная одновременность совпадает с координатной одновременностью. Очевидно, что в соответствии с (10.237), (10.268) и (10.66)
6У = б?f T (I -г 2%1с2)1/2 = 6Ї7 (с* —vu)/c*. (10.270)
Показать, что импульс бР и кинетическая энергия 6E инфинатезимальной частицы
определяются формулой
—вя/с)==е/ 5F/C, (10.271)
где 0* — сопряженный стандартный тензор, соответствующий тензору кинетической энергии 0* =(.ї0UiUk.
Упражнение 3
В сопутствующей системе отсчета 4-скорость материи определяется выражением (10.253). Показать, что в такой системе:
1) (а) где — тензор растяжения (10.47);
2) DUiIdx= (-Qvl, о), (б)
где Cfj — стандартное ускорение покоя (10.25), (10.26);
297
3) для жидкости с учетом (10.233)
(fl° + p7c2) A11 = ^11PJ (в)
c\~Vl №У/г),4 = -PTjav (^Tjxv/^O/2^- ^
§ 10.9. Уравнения электромагнитного поля
Для простоты ограничимся рассмотрением электродинамики в вакууме, так как обобщение макроскопической теории для случая материальной среды производится по тому же принципу. С помощью общековариантных выражений (9.200), (9.201) для дивергенции и ротора антисимметрического тензора уравнения Максвелла (5.9), (5.13), (5.16) в произвольной системе координат S можно записать следующим образом:
BFiJdx1 + DFklIdxi + BFliIdxk = 0; (10.272а)
у=^(/ЇЇІ>ь) = *'; (10.2726)
S1 = ^U1Ic. (10.273)
Здесь Fik = —Fu — тензор электромагнитного поля; Si — плотность 4-тока; P0 — плотность заряда, измеренная в локальной инерциальной системе; U1 — ¦— 4-скорость электрического заряда. В любой локально инерциальной системе Л’ уравнения (10.272) сводятся к уравнениям (5.13), (5.16) или (5.1), Учитывая антисимметричность тензора Fik, из (10.2726) получаем выражение
dlv{s'H TTir?(/raTs') = W^,yrFP') = 0' <10-274)
которое представляет собой общую форму уравнения неразрывности для электрического заряда.
Теперь рассмотрим систему, которая при t = XiIc целиком находится внутри конечного трехмерного объема V. Умножая (10.274) на VlfirI и интегрируя по пространственным переменным х1, хг, хя, находим, что
Г VVgJSidx1 dx2d)с3-0. (10.275)
у
Таким образом, величина
е= § (I + 2%/с2)1''2 S4 Vv dx1dx2dx3 = J (1 + 2%/с2)1/2 s4 dV (10.276) у
не изменяется со временем и должна интерпретироваться как полный электрический заряд системы. Следовательно,
р = (1 + 2%/c2)1/2s4 = (1+2%с2)»/2Гр° (10.277)
есть плотность заряда в системе 5. Теперь рассмотрим заряд рбУ элементарного объема 6V; если SVfl — соответствующий объем в локальной системе покоя, то из (10.277) и (10.273) получим
pdV = p°dV°, (10*278)
т. е. электрический заряд малой частицы не зависит от системы координат.
Инвариантность полного заряда следует также непосредственно из уравнения неразрывности (10.274). Рассмотрим две произвольные системы координат 5 и 5' и интегралы
е— 5 Vs S1 dx1 dx2 dx3; (10.279)
х‘ = а
е'= 5 V\gr\s'*dx'1dx'idx'* (10.280)
.к'4 = б
298
по двум областям пространства при Xі = const — а и х'4 = const = b соответственно. Учитывая, что эти интегралы не зависят от времени, не изменяя значений е и ё, b можно выбрать так, чтобы области Xn — b и Xі = а не пересекались внутри трубки в 4-пространстве, где плотность заряда отлична от нуля. Тогда можно ввести третью систему координат 5", совпадающую с S внутри области Xі = а и с S' внутри области Xі = Ь. Поскольку уравнение (10.275) выполняется и в системе S",
S Wl s^dx'^dx^dx"3 = I Vlg'^s^dx^dx^dx"3. (10.281)
Учитывая, что х'п = Xі на гиперповерхности Xі = а, и х"1 = хв области Xri = b соответственно, из (10.281) получаем
Когда пространственная метрика не зависит от времени, (10.284) представляет собой трехмерную форму уравнения неразрывности. В жесткой системе отсчета, где dyldt = 0, из (10.284) получим div pu + dpldt = 0.
Для полного выяснения физического смысла компонент тензора Fik уравнения Максвелла (10.272) представим в трехмерной векторной форме. Как и в случае уравнения движения частицы, уравнения Максвелла можно записать в двух эквивалентных формах — стандартной и координатной. В данном случае координатная форма дает самое простое описание, а для дальнейшего упрощения предположим, что наша система координат времени ортогональна, т. е.
