Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
DWpllIdt= Iim [Pv(t + dt)-p^lAt, (10.51)
Д«-*0
где р'Ц, — 3-вектор, полученный (мгновенным) параллельным переносом вектора Pil (t) из точки (.V-Jx) в точку (х^ -J- dx'1) = (xv- -H u^At). Следовательно, в гауссовой системе координат динамическое действие гравитационного поля можно исключить в конечной области пространства — времени, так что эффект влияния гравитационного поля чисто геометрический и целиком описывается пространственным метрическим тензором.
Фактически для свободно падающей частицы, когда — 0, из (10.44), (10.46) и (10.49) имеем
= °: ) (10.52)
dEldt= —d\^ pv Uk. )
Следовательно, 3-вектор Pll изменяется вдоль траектории в соответствии с правилом параллельного переноса. Однако норма его Изменяется со временем, если система отсчета не жесткая. В этом случае, если dv^ ~ О, a YnX не зависит от времени, Е, и и т — постоянные, а уравнения движения сводятся к
DWullIdt = 0. (10.53)
Тогда траектория частицы — геодезическая в физическом пространстве, т. е. частица движется с постоянной скоростью по «прямейшей» для данной геометрии линии. Такое движение совершенно аналогично движению частицы по фиксированной гладкой двумерной поверхности в инерциальной системе, где единственной силой, действующей на частицу, является нормальная реакция поверхности. Единственное существенное отличие состоит в том, что при нашем рассмотрении частица движется по трехмерной искривленной поверхности. Если пространственный метрический тензор зависит от времени, что обычно имеет место в случае гауссовой системы координат [см. § 9.15], движение частицы в гравитационном поле аналогично движению частицы в инерциальной системе по изменяющейся гладкой поверхности. Таким образом, если динамические потенциалы равны нулю, то действие гравитационного поля имеет характер «нормальной реакции» искривленного трехмерного пространства.
Возможность исключения гравитационной силы ® хотя и интересна с теоретической точки зрения, но обычно не столь нужна, поскольку соответствующая система отсчета в общем случае не жесткая, что в большинстве случаев приводит к большим усложнениям при исследовании физических явлений. Однако при исследовании космологических проблем (см.§ 12.7 и 12.8) мы используем эту возможность.
Как мы подчеркивали в § 9.16, стандартный временной дифференциал (9.331) обычно не является полным дифференциалом глобальной временной переменной /. Поэтому t, подобно собственному времени т, имеет определенный
269
смысл только по отношению к определенному движению частицы. Однако т имеет простой операционный смысл, так как определяется по показаниям стандартных часов, движущихся вместе с частицей. Мы увидим теперь, что t можно также операционно определить вдоль мировой линии частицы.
Для этого представим, что в каждой точке отсчета системы R расставлены неподвижные относительно этих точек стандартные часы, т. е. так же, как и в случае инерциальной системы /, который рассматривался в § 2.2. В том случае все стандартные часы можно было синхронизовать с помощью световых сигналов, испущенных из произвольно выбранного центра синхронизации. Было показано, что такая синхронизация часов в I удовлетворяет двум специальным условиям: она не зависит от времени ее проведения и от выбора центра синхронизации. Однако если подобный метод применить в произвольной системе отсчета R, то эти условия уже не будут выполняться, т. е. нельзя найти однозначный способ синхронизации покоящихся в R стандартных часов. Тем не менее, эти часы можно использовать для измерения стандартных временных промежутков dt следующим образом.
Пусть р и р' — две точки отсчета в R, через которые частица проходит в моменты координатного времени t и (t + dt) соответственно, и пусть da —
расстояние между ними, измеренное стандартной измерительной линейкой
в момент времени t. В этот момент из точки р в точку р' пошлем световой сигнал. Тогда в соответствии с (8.72) сигнал прибудет в точку р' в момент координатного времени ( t + бt), где
bt = do(l +\е)/с*, (10.54)
а е — единичный 3-вектор, направленный из р в р . С помощью стандартных часов, помещенных в точке р', можно измерить промежуток времени d'т0 между моментами прибытия в точку р светового сигнала и частицы. Поскольку соответствующий координатный временной промежуток равен (dt — Si), из (8.116) с учетом (10.30) получаем
d' т0 = (1 + 2х/с2)1 /2 (<Й - 60 = (1 + 2х/с2)1 / 2 {Л - do (1 + уе)/с*} -
= —do/c + dt (с*— уu)Jc — —dojc + dl. (10.55)
При замене в этом выражении значения потенциала в точке р' его значением в точке р в координатных дифференциалах можно пренебречь величи-
нами второго порядка малости. Из (10.55) получим формулу
dt = d' T0 4- do Ic, (10.56)
которая выражает dt через измеренные величины do и d'т0.
Стандартная скорость частицы и = |и| согласно (10.32) есть
и = си/(с*—\и). (10.57)
В соответствии с (8.68) координатная скорость светового сигнала
w = c*—Yw- (10.58)
Полагая в (10.57) u= w, получаем, что стандартная скорость света w равна с везде и во всех направлениях:
