Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
В соответствии с (10.143)
F (и», xtydX = {Yy^dx^ dxv-\-yvdxv\jc* =do(l +Yv?v)/c*> (10 147)
281
D(3) (eціc*)Idt = —(w/c*3) dxldxt1 + 20^ WvIcc*, где в соответствии с (8.135) и (8.130)
2w [ivfC* = (5ч' jx — Ofjjlf v
(10.141)
(10.140)
Пусть
х& = (X)
(10.142)
F (Ф, XV-) = {У Yv^ uv их + Yv «v) /с*.
(10.143)
бf^F(и», xv-)dK = 0;
(10.144)
бх^ (X1)=Sxtx (X2) = O.
¦f" Ovг (і НУ/С.
Это можно записать также в виде
DW (ец!с*)IdK= — (и/<f ^dxlOxtx + (ov, j*—v) uv/c, (10.145)
= Ynv UvIu = Yixv dxv/do
(10.146)
где ev = dxvIda — контравариантные компоненты 3-вектора (10.146). Поэтому, используя (8.72), видим, что вариационный интеграл X2 2
(>(«!*, x^)dX={—=I2-I1^At (10.148)
-I JW (е)
Я, і
равен (координатному) времени, в течение которого световой сигнал проходит путь от точки 1 до точки 2. В соответствии с принципом (10.144) для действительной траектории светового луча это время является экстремальным (обычно минимальным). Это и есть принцип Ферма. Удивительно, что этот, сформулированный в XVII в. принцип все еще используется, по крайней мере формально, в наиболее современной теории распространения света. Однако необходимо заметить, что имеют место и существенные различия между принципом (10.144) и классическим принципом Ферма. Во-первых, геометрия физического пространства в R в общем случае неевклидова. Во-вторых, временной промежуток At в (10.144) , (10.148) является промежутком координатного времени, измеренным координатными часами в 5. Если Дt заменим промежутком стандартного времени, то с помощью (10.132) получим
2 ^ 2
At = ^ doIw — ^da/c, (10.149)
і і
а соответствующий вариационный принцип
X К
6 (AlO= (1/с) б J (daIdK)dX = (\Ic) ^(yvt.uVuxyJ2dX = 0 (10.150)
Arl
приводит к уравнениям геодезической в физическом пространстве
D(3)eJdX^d(u^/uj/dt—(I/2)yv^i „iivих/и = 0. (10.151)
Таким образом, вариационный принцип (10.150), в котором координатное время заменено стандартным временем, не дает правильного описания распространения светового сигнала, за исключением тех областей, где гравитационные потенциалы % и Yn одинаковы, т. е. когда отсутствует гравитационная сила. В общем случае луч света не является «наипрямейшей» линией, причем это отклонение определяется гравитационной силой. Комбинируя (10.144) и (10.147), принцип Ферма можно представить в форме
(п/с) da— 0, (10.152)
где
n(x«S е) = (1+Yv ^)/(1+2х/с2)1/2. (10.153)
Таким образом, распространение света в вакууме при наличии стационарного гравитационного поля аналогично распространению света в неоднородной неизотропной преломляющей среде с показателем преломления (10.153). Эта аналогия не всегда является полной, поскольку распространение света в гравитационном поле с Y11 ф 0 не удовлетворяет оптическому принципу обратимости, согласно которому луч света в преломляющей среде распространяется по одной и той же траектории в прямом и обратном направлениях. Такое несоответствие следует из выражения (10.153) для п, которое меняется при замене е на —е, в отличие от показателя преломления обычной среды, который даже в неизотропном случае не меняется при замене е —е. Однако в статическом гравитационном поле, например в поле Солнца (см. § 12.2), Yn — 0, % < 0. Тогда
П (X*) = (I +2Х/С2)-1/2 > 0, (10.154)
и аналогия с неоднородной, но изотропной средой без дисперсии будет полной (см. также § 10.9). Это и есть причина одного из трех эйнштейновских эффектов— отклонения луча света в гравитационном поле Солнца (см. § 12.3).
282
§ 10.6. Распространение световых волн. Фотоны
В предыдущем параграфе было показано, что распространение световых сигналов эквивалентно движению световых частиц. Такое описание, которое похоже на корпускулярную теорию света Ньютона, конечно, не полно, так как оно не учитывает волновые свойства света. Чтобы объяснить, например, явление интерференции, необходимо ввести понятие волны, характеризующейся определенной частотой и длиной волны. Вспомним, что в СТО плоская монохроматическая волна в любой инерциальной системе описывается следующим образом [см. (2.67) и (4.43)]:
tj) = A cos 2nF, (10.155)
гдеі|) может обозначать любую компоненту тензора электромагнитного поля, а фаза F. является линейной функцией лоренцевых координат Xі:
-F = KiXi-^b. (10.156)
Здесь
Ki=—dF/dXl = (nv/w(n), —v/c) = ( п/Х, —v/c) (10.157)
— постоянный волновой 4-вектор; б — постоянная;
V = —сКі = OFIdT (10.158)
— частота; X — длина волны; w (п) — фазовая скорость в направлении п
3-вектора Kix- В вакууме, где W = с, 4-вектор К/, очевидно, является нулевым вектором, поскольку в этом случае
Ki Ki = 4{k Ki Kk = (v/c)2 I n I2 - (v/c)2 = 0. (10.159)
Плоская волна (10.155) характеризуется тем, что волновой вектор Ki н амплитуда А везде одинаковы. Для световой волны в однородной среде формула
(10.155) является решением уравнений, следующих из уравнений Максвелла, но в случае неоднородной среды это не так. Конечно, решение волнового уравнения всегда можно записать в форме
