Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10.2. Физическая интерпретация уравнении механики точки.
Стандартные уравнения движения. Стандартная одновременность
В предыдущем параграфе мы вывели различные формы уравнений, описывающих мировую линию движущейся частицы в четырехмерном пространственно-временном континууме. Это пространство является математическим построением. Чтобы дать физическую интерпретацию величин, входящих в эти уравнения, их необходимо представить в форме обычных уравнений движения в трехмерном физическом пространстве. В связи с этим напомним, что физическая величина определяется той инструкцией, в соответствии с которой она измеряется. В эту инструкцию, наряду с порядком проведения эксперимента, должно входить описание используемых инструментов и правила пользования ими. Это фундаментальное положение остается в силе и в теории относительности. Однако в дорелятивнстской физике считалось само собой разумеющимся, что физическое пространство имеет метрику трехмерного евклидова пространства. В философии Канта даже постулировалось, что это является априори необходимым предположением, без которого немыслимо разумное описание природы.
С появлением релятивистской теории ситуация резко изменилась. В этой теории геометрия математического 4-пространства существенно зависит от распределения и движения материи в физическом пространстве. Более того, само физическое пространство вообще не имеет определенной метрики. Геометрическая структура физического пространства может быть задана в определенном смысле лишь относительно определенной системы отсчета. Это так даже в случае СТО. Однако здесь по крайней мере пространственная геометрия в любой инерциальной системе /, определенная с помощью стандартной измерительной линейки, покоящейся в I, всегда евклидова. В ОТО, где мы имеем дело с произвольно движущимися системами отсчета R и произвольными распределениями масс, пространственная геометрия, установленная с помощью стандартных измерительных линеек, покоящихся относительно R, в общем случае неевклидова. Как мы уже видели в гл. 8 и 9, пространственное расстояние do между двумя близкими точками отсчета в R с координатами (л^) и (xv- -г dx'-1) определяется квадратической формой
do2 =^yixv (х) dx* dxv, (10.29)
265
где — калибровочно-инвариантный 3-тензор, обычно зависящий и от (Xtx) и от координатного времени t. Таким образом, в общем случае пространственная геометрия в R не только неевклидова, но зависит и от времени. Тем не менее, в любой системе отчета R с пространственно-временными координатами (х‘) уравнения, приведенные в предыдущем параграфе, можно записать в форме обычных уравнений движения, где изменение импульса частицы равно пространственному вектору силы, а изменение кинетической энергии равно работе этой силы.
Прежде всего мы должны точно определить смысл импульса и кинетической энергии в присутствии гравитационного поля. Пусть P— точечное событие в 4-пространстве, соответствующее прибытию частицы в некоторую точку отсчета системы R в некоторый момент времени, a Xp — координаты P в системе 5. Тогда с помощью преобразований (9.99) можно ввести в точке P локальную псевдодекартову систему S (P). Поскольку системы отсчета R и R покоятся относительно друг друга (фактически они совпадают, если не считать, что в них координаты точек отсчета различны), импульс и кинетическая энергия частицы относительно R и R должны быть равными. Преобразования (9.99) являются калибровочными преобразованиями. Поэтому калибровочноинвариантные пространственные и временные составляющие р и Efc стандартного 4-вектора P1 должны быть равны соответствующим величинам в локальной системе 5 (P). Однако в соответствии с (9.308) стандартные компоненты
— V V ,
Pi в системе о (P) совпадают с компонентами P1 4-импульса, и, поскольку эта
.во °
система псевдодекартова (в Р), пространственная часть 4-импульса равна импульсу, а временная часть (умноженная на с) равна кинетической энергии (плюс собственная энергия частицы относительно R).
Эти рассуждения приводят нас к выводу, что 3-вектор р, определенный в (10.13), (10.17), представляет собой импульс частицы в R или S, а величина Е, определенная в (10.14), должна представлять собой кинетическую энергию в S (для краткости E будем называть кинетической энергией, хотя она включает в себя и постоянную собственную энергию /л0с2). Вместо локальной псевдо-Декартовой системы S (P) с тем же успехом можно использовать локальную лоренцеву систему S (P), определенную преобразованием (9.105), с тетрадой e{k\' удовлетворяющей соотношениям (9.97). В любой точке P локальная инер-циальная система R покоится относительно RuR.
9 т.
Чтобы найти выражение для гравитационной силы и ее работы, необходимо знать изменение р и E во времени. Здесь результат зависит от выбора временного параметра. В первом издании этой книги в качестве такого параметра использовалось координатное время t, что приводило к «координатной» форме уравнений движения. Эта форма уравнений, которая будет рассматриваться в следующем параграфе, не калибровочно-инвариантна, поскольку параметр t изменяется с изменением масштаба времени. В настоящем параграфе мы имеем дело с так называемой стандартной формой уравнений движения, которая была независимо разработана Зельмановым [287] и’Каттанео [42—47]. Формально стандартные уравнения проще координатных уравнений тем, что они описывают соотношения лишь между калибровочно-инвариантными величинами.
