Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
* Величины At тесно связаны, но не тождественны «физическим» компонентам,
введенным Шмутцером [219, 220].
253
Величины Ai, Ai, конечно, не 4-векторы, но, как мы позже увидим, они имеют во многих случаях более простую физическую интерпретацию, чем соответствующие 4-векторы. Более того, в некотором смысле их трансформационные свойства проще. Самое важное, что они инвариантны относительно калибровочных преобразований, т. е. их пространственные компоненты АA11 преобразуются как компоненты 3-вектора, а их временные компоненты Л4 = = — Ai при таких преобразованиях не меняются. Следовательно, если
Ai — вектор в точке P 4-пространства, a S (P) локальная псевдодекартова
система координат (9.99), то в этой системе компоненты соответствующей величины Ai имеют вид
I'I5}. (9.306)
OO
Кроме того, поскольку согласно (9.92) gih (P) = Tjift,
Гг (P) = ди. (9.307)
Это означает, что в S (P) величины Ai совпадают с компонентами соответствующего 4-вектора, т. е.
Ki = AK (9.308)
о о
От любой другой системы (S' : Rr) мы также можем перейти к локальной системе Sr (P), образованной тетрадой ek] [R']. В соответствии с рассуждениями
на стр. 227, преобразования от5 (P) к Sr (P) являются преобразованиями JIo-
ренца с коэффициентами Л*, Л,-, определяемыми формулами (9.102). Поэтому с учетом (9.308) имеем
J'i = AiIk. (9.309)
о о
Соотношения между компонентами А'1 и A4 в системах Sr (P) и Sr выражаются формулами, аналогичными (9.306). Соответствующие обратные соотношения имеют вид
Ali=IetilR']!'*, Л'*}. (9.310)
О OO
Из (9.310), (9.309) и (9.306) видно, что в любой точке P преобразования величин Ai являются преобразованиями (9.309) вместе с пространственными преобразованиями (9.306) и (9.310). Формально преобразования Ai такие же, как и в СТО, когда обычные декартовы координаты заменяются пространственными криволинейными координатами. Величины Ai и Ai, связанные друг с другом соотношениями (9.298), будем называть контравариантными и ко-вариантными компонентами одного и того же стандартного 4-вектора.
Истинный вектор в римановом пространстве преобразуется в соответствии с формулой (9.15), (9.15'):
А'1 = а[Ак; Ai = CttkArk, (9.311)
где коэффициенты
= дх' 1/дхк; а{ = дх1/дх'к (9.312)
удовлетворяют соотношениям (9.11). Закон преобразования для соответствующего стандартного вектора можно записать в форме
A'1 = OLtkAhI Ai = IikArk, (9.313)
254
где стандартные коэффициенты преобразования удовлетворяют соотношениям
аналогичным (9.11). В соответствии с (9.301) и (9.305) оба типа коэффициентов связаны формулами
5'. С помощью соотношений, обратных (9.11), (9.304) и (9.314), формулы (9.315) можно переписать в виде
Эти соотношения представляют собой закон преобразования для П-функций. Для калибровочных преобразований (9.283) выражения (9.315) сводятся к
так как пространственная часть стандартного 4-вектора является калибровочно-инвариантным 3-вектором, а временная часть не меняется при калибровочных преобразованиях. Для общих координатных преобразований a'k, ah имеют более сложный вид, хотя и более простой, чем соответствующие коэффициенты al* a'k. Согласно (9.306), (9.309), (9.310) коэффициенты а* составляются из лоренцевых коэффициентов Au и коэффициентов вида (9.317), соответствующих простым калибровочным преобразованиям (см. также упражнение 2
изводных (за исключением тривиального случая чисто пространственных преобразований).
Пусть Ai и Bi — два произвольных вектора. С помощью (9.304), (9.305) и (9.298) их скалярное произведение можно записать в следующей форме:
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно скалярному произведению соответствующих стандартных векторов. Поскольку эта величина — инвариант из (9.313), имеем
Эти формулы совершенно аналогичны соответствующим формулам (9.12) для метрического тензора.
Используя (9.305), равенство (9.318) можно переписать как
і ~ / I Cf
Uiak — ai ak — Ok,
(9.314)
(9.316)
(9.317)
в конце этого параграфа). Однако, в отличие от ak и а\, определяемых формулами (9.312), стандартные коэффициенты а*, а не имеют вида частных про-
Ai Bi = П[п U[m] A1 Bm = 6[т A1 Bm
или
Ai Bi — Ai Bt = gih A1 Bk.
(9.318)
8ik Ai В* = glm At В» = glmа\ a’k A’1 B^=gik А'' В'к, что для произвольных^ч, В'к приводит к преобразованиям
" I "т ~ gik — GLi <Xk gim>
" I /Ti '
Sik = aI ak glm•
(9.319)
(9.320)
(9.321)
255
Это соотношение между gift и метрическим тензором легко получается непосредственно из (9.286), (9.289) и (9.302). С помощью (9.298), (9.319) и (9.313), (9.314) получим следующий закон преобразования для ковариантных компонент стандартного вектора:
A'i = a.iAh; Ai = OLkiAl (9.322)
что аналогично (9.18), (9.19).
Величина gik, которую будем называть стандартным метрическим тензором, является частным примером стандартного тензора ранга 2. Стандартный тензор ранга п определяется как п-индексная величина (с 4п компонентами), которая по каждому индексу преобразуется как стандартный вектор, т. е. в соответствии с (9.313) для контравариантных индексов и с (9.322) для ковариантных. Связь между ковариантными и контравариантными компонентами дается с помощью правил (9.298) опускания и поднятия индексов. Таким образом, по аналогии с (9.36), (9.38) для стандартного тензора ранга 2 имеем
