Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
208
ратно до точки В, где достигают скорости — v, а действие силы прекращается. Между точками В и А они движутся с постоянной скоростью — у. В точке А на часы C2 опять начинает действовать сила F, под действием которой часы C2 снова прибывают в T04KyjOj, обладая нулевой скоростью.
Пусть А’Т, Л" T и Д'"Т— отрезки времени, в течение которых часы Ct проходят расстояния O1A, А В и BC соответственно. Из соображений симметрии движение часов от С до А является обратным движению от А до С и, кроме того, Д"' T = А'Т. Пусть At1 и At2 — время, измеренное часами C1 и C2 между двумя встречами; T1 и т2 — собственное время часов C1 и C2 соответственно. Поскольку часы C1 все время покоятся в точке O1, At1 равно полному приращению AT переменной T системы S1 между двумя встречами. Следовательно,
At1 = AT = 2 (Д ¦T -I- AT + AwT) = 2 (2Д T + А *Т). (8.176)
У
Рис. 18.
Аналогично имеем
At2 = 2 (т; + то + т") = 2 (2тг + т*2), (8.177)
где Т2, т2 и то" — отрезки собственного времени часов C2, в течение которых они проходят расстояния O1A, AB и BC соответственно. Движение часов C2 на участке O1A гиперболическое и описывается уравнением (3.47), т. е.
X = (CVg) [{1 + штіоул-1], (8.178)
Где g = Fim0, а т0 — масса покоя часов C2. Следовательно,
и = dX/dT = gT/Y I + (gTJcf. (8.179)
Поэтому
v = gA'TlVl + (gb'TJc2) (8.180)
или
gA'T = v/Y 1— VVct. (8.181)
Теперь, используя (8.179), по формуле (2.38) СТО, справедливой в инерциальной системе S1, МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ %2-Л'Г a 'T
Т2= S Yl -UVc2 dT~ S dTlYI + (gT/c)2=—Arsh(gAT/c).
оо S
209
В соответствии с (8.181) это выражение можно записать в виде
gA'T/c = VlcY 1— VsIc1 = sh (gTa/с) = sh (gx"^/c) (8.182)
или
th — = sh (g%2/c)lVl +sh2(gxilc) = v/c. (8.183)
С
Аналогично из (2.38) получим
т'' = А"Т YI-V2Ic2. (8.184)
Теперь, если при постоянном значении v все больше и больше увеличивать силу F, то ускорение g = Flm0 будет также увеличиваться. Если g—>¦ оо при постоянной и, из формулы (8.182) следует, что А'Т = А"’Т и х'2 = х2 стремятся к нулю. В пределе, когда часам С» мгновенно сообщается скорость v, из (8.176), (8.177) и (8.184) имеем
At 1=2ДТ; Ата = 2т2' = 2 А'Т Y1 ~ V2Ic2, (8.185)
т. е.
At8-At1ZI- Vй/с2, (8.186)
как это и должно быть. Движущиеся часы C2 отстают от неподвижных часов Cv Кроме того, в пределе при g -V со максимальное расстояние между часами
l=vA”T. (8.187)
Такой же результат получится, если весь процесс рассматривать в жесткой системе отсчета S2C координатами [х, у, z, t), движущейся вместе с часами C2 так, что часы C2 все время находятся в начале координат системы S2- Когда S2 движется ускоренно относительно S1 или далеких звезд, в S2 возникает гравитационное поле. В промежуток времени 0< t<C тг = А7поле описывается скалярным потенциалом (8.164). В интервале т? < t < х'ч + х\ величиной A'7 =|Т2 скалярный потенциал % = 0 и в интервале х'2 + т? < t<. <С Т2 + Тг -г T2 величиной A'"t — T2 = T2 = A't потенциал % = —gx (1— —gxl2 с2). В течение первого периода А7 часы C1 свободно падают в отрицательном направлении оси х, в соответствии с уравнением движения (8.173). В течение периода А'7 они движутся равномерно со скоростью — v, и, наконец, в течение периода А'"/они достигают точки с координатой X0 = — /, обладая нулевой скоростью. Поскольку в этот момент времени системы S1HSa покоятся относительно друг друга, максимальное расстояние между двумя часами в’обеих системах?отсчета одинаково. После этого часы C1 совершают обратное движение к началу координат системы S2. Во время всего процесса часы C2 покоятся в начале системы S2, так как гравитационная сила уравновешивается внешней силой F.
Приращение собственного времени часов C1 можно теперь вычислить с помощью общей формулы (8.115), учитывая приведенное выше выражение для Х.'В (8.172) — (8.175) мы дали решение уравнений движения (8.172) и выражение для собственного времени. Если т[, ТЇ Ti" —приращения собственного времени часов C1 в промежутках A't, А'7, Аt соответственно, то, очевидно, имеем
/ / m MF \
At1 = 2 (ті +T1 -j-Ti).. (8.188)
Аналогично, поскольку C2 покоятся в начале х = 0, где % все время равен нулю, то
At, = 2 (А7 + A"t + А’Ч) = 2 (2А7 + АЧ) = 2 (2тг + Ta). (8.189)
'210
Далее, поскольку часы C1 начинают двигаться из начала с нулевой скоростью, мы можем найти т( из формулы (8.175), полагая в ней Xu 0 и t — t0 — = А'і = Т2. В результате с учетом (8.183) получаем
= Cfgth (gT2/c) = VIg. (8.190)
В течение промежутка времени А"і часы C1 движутся с постоянной скоростью в пространстве, где гравитационное поле отсутствует. Поэтому, используя (8.184), имеем
тI = A"t У I — V2Ict = та У I — ViIci = А"Т(\ — V2Ic2). (8.191)
Наконец, из формулы (8.175) находим т{", полагаяgравным — g, х0 = — I, t—t0 = А"'і = т5' = Ta:
т’" = (с/я + //с) th gr'^lс = (clg + He) vfc. (8.192)
Когда g-> <х> при постоянном значении v, из (8.190) получим, что т{ -> 0, а также и A"'t = г’," = T2 -»¦ 0. Однако х[" имеет конечный предел:
