Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
/\ dx'¦ dxkyn f/ dxi dxk \lf2.r,, /0
не изменяется при любом преобразовании параметра. И наконец, нулевые геодезические, для которых
(8.100)
d і" dxk \ I dgki dx1* dx1
dX [^ik dX 2 дх‘ dX dX ’
gtk (dxl/dX) dxkfdX — 0, представляют собой мировые линии световых лучей, поскольку в системе координат (Xі) уравнения (8.100) сводятся к уравнениям
diXlIdX2 = 0; j (8.101)
(dX^ldX)(dX^/dX)~(dXifdX)2 = 0, J
которые описывают прямолинейное движение точки со скоростью с в инерциальной системе.
Как мы выясним позднее (гл. 9, 10), уравнения для мировых линий материальных частиц и световых лучей, выведенные здесь для случая устранимых гравитационных полей, справедливы и в более общем случае неустранимых гравитационных полей.
§ 8.11. Динамические гравитационные потенциалы
В § 8.8 и 8.9 мы видели, что гравитационное поле в произвольной ускоренной системе координат (Xі) влияет на пространственные и временные измерения, производимые с помощью стандартных измерительных линеек и стандартных часов. Пространственная геометрия, например, описывается пространственным тензором определяемым из соотношения (8.64). Теперь введем величины, описывающие динамическое действие гравитационных полей. Для этого используем пробное тело с произвольной массой, помещая его в ту точку нашей системы отсчета, где мы хотим измерить гравитационное поле. Ускорение, сообщаемое частице гравитационным полем, определяет напряженность этого поля.
Полагая в (8.96) t = ц = 1, 2, 3, для частицы, покоящейся в некоторый момент времени, получаем
dt2
Далее, из (8.76) имеем
— с2 dx2 = ds2 = dt2 {и2 — (с* — Yn и»)2},
т. е.
d'x = dt{((—gii)lt2—yiXu»'!c)2—u2/c*yJ‘2, (8.103)
где
т, uv- = dx^!dt, u = do/dt = (yiXV иУ)хіг (8.104)
— собственное время, компоненты скорости и величина скорости частицы соответственно. Следовательно,
dx4 ------- dt \(л Yv “V \2 M2 \~1/2
-----J —j ¦ (8,10b)
и для частицы, покоящейся в данный момент, из (8.103), (8.105) получаем
(8.106)
dx ^ dx Sl4' Г дх* ' dP
d2XvIdx2 = -(Ugu) (d2 xvIdt2).
В результате, подставляя (8.103) и (8.106) в (8.102), имеем
d2Xv д ( с2 gu \ ,г——- dTn /и 1П7\
Yn ----— (-----^±)—сУ—ёа~- (8.107)
df2 дх» \ 2 I dt
Левая часть в (8.107) представляет собой гравитационное ускорение пробной частицы, причем
Яц = Ynv & >?ldt2 (8.108)
— ковариантные компоненты ускорения частицы с нулевой скоростью в криволинейных координатах нашей системы отсчета (см. § 9.2). Таким образом, динамическое действие гравитационного поля описывается функциями
ёи и Yn-
Если положить
?44= — (1 +2х/с2), (8.109)
то из (8.107) получим
«и = — 0%/0х»—с* OynIdt, (8.110)
где
с* = с/(1+2х/с2) (8.111)
есть средняя скорость света, определяемая соотношением (8.73).
199
Учитывая аналогию (8.110) с силой, действующей на покоящуюся заряженную частицу, выраженной через электромагнитные потенциалы, величины Z и Yn будем называть гравитационными скалярным и векторным потенциалами соответственно. Скалярный потенциал выбран таким образом, чтобы при X = ёа имело частное релятивистское значение— 1.
Если уц не зависит от времени, то гравитационное ускорение равно гра-
диенту скалярного потенциала:
Дц=— д^Ідх». (8.112)
Это имеет место, например, во вращающейся системе координат. В этом случае из (8.79) и (8.109) имеем
г=—г\?!% (8.113)
Следовательно, гравитационное ускорение частицы с нулевой скоростью направлено от центра вдоль радиуса и равно г со2, что соответствует обычному выражению для центробежной силы.
§ 8.12. Скорость хода движущихся стандартных часов в гравитационном поле
Из формул (8.103) и (8.109) мы имеем следующее выражение для собственного времени частицы, движущейся в гравитационном поле с гравитационными потенциалами (у^, у):
dx = dt[{(l -J-2%/с2) 1^2-ум,и^/с}2—и2!с2]112. (8.114)
Поскольку т — время, измеренное стандартными часами, движущимися вместе с частицей, (8.114) определяет скорость хода движущихся стандартных часов в сравнении со скоростью хода координатных часов рассматриваемой системы. Если система координат времениортогональная, то Yn = 0 и
d~c = dt{\ +2х!с2—и2/с2)1?2, (8.115)
Формулы (8.114) и (8.115) обобщают формулу (2.38) и выражают замедление (или ускорение) хода движущихся часов при наличии гравитационного поля.
Для часов, покоящихся в нашей системе отсчета, имеем
dx, = dt Y(Т+2х/с2) , (8.116)
что соответствует (8.66') п (8.109). Таким образом, ход стандартных часов зависит от скалярного потенциала в той точке, где эти часы установлены; он более замедлен там, где меньше гравитационный потенциал. Следует заметить, что подобное утверждение имеет смысл только тогда, когда задана определенная система координат, поскольку формулы (8.114) и (8.115) дают лишь соотношение между ходом стандартных часов и координатных часов в точке установки стандартных часов. На вращающемся диске в соответствии с (8.116) и (8.113) имеем
dr0 = dt VI + 2%/с2 =dt Y\ — г2 ш2/с2, (8.117)
т. е. стандартные часы, удаленные от центра, идут медленнее стандартных часов в центре, показывающих время t = Т. Это замедление хода стандартных часов при г > 0 будет различным образом интерпретироваться наблюдателями в фиксированной системе I и во вращающейся системе S. Наблюдатель в I объяснит это запаздывание движением часов. В этой системе гравнтациок-иое поле отсутствует, т. е. х = Yn = Н(> скорость часов и = гы. Поэтому
