Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
F% = eiklm Flm!2 = (-gY1/2 Ztklm Flm/2;
f *ik = eikIm f г J2 = _( _ g) - I / 2 E.klm pim/2,
T. e.
Г., і /.f: Fll= V=IF11-, F\._ = V=gF«-,
FX1 = Y=BF*-. FU=Y=SF'1-
Следовательно,
Flk - Bikim FtmIZ V~g= -Ciklm Щ2; )
Fih - -eikImF*'m!2= —V~gbumF*lm!2. I
(9.50)
(9.50')
(9.51)
219
Два инфинитезимальных вектора dx1, Sxi определяют параллелограмм, описываемый антисимметрическим тензором с контравариантными компонентами
doik = dx18xk — dxk Ьх1. (9.52)
Инвариантная площадь параллелограмма do определяется формулой
do2=]f2deikdoik. (9.53)
Соответствующий дуальный псевдотензор
do% = V-gdSU I dS 'lk Zikim dx1 Ьхт I
(9.54)
ортогонален векторам dx‘ и Sxi, т. е.
do% dx1 ~ do% Ьх1 — 0. (9.55)
Три инфинитезимальных вектора dx‘, Sxit Axi определяют трехмерный параллелепипед, описываемый антисимметрическим тензором
dx1 Sx1 Axi dxk &хк Axk dx1 fix* Ax1
(9.56)
(9.57)
С другой стороны, этот параллелепипед можно описать дуальным псевдовектором
dZ; = (1/3!) еШт dZklt" = v~g dS{, I dSt = (I /3!) Eikim = Bikim dxk bxl Axm, j ортогональным векторам dx1, bxl, Axi, т. e.
dZt dx1 = dZfdx1 = dZt Axi — 0. (9.58)
Объем dZ по аналогии с (4.120) равен
(dZ)2 = EdSidZi. (9.59)
И наконец, четыре инфинитезимальных вектора dx^l)i, dxW, dx{Z)i, dx(4)l' определяют четырехмерный параллелепипед с помощью тензора
JQlklm =
d{l) Xі d{1) xk d(1) X1 dil} х”
d(2) Xі ^-yXk
di2)x!
1( 2)
Xm
di3) Xі dm xk dl3) X1 d<3) xm dU) Xі dU) xk d(4) X1 dU) xm
(9.60)
который имеет лишь одну не равную нулю независимую компоненту. Соответствующий дуальный псевдоскаляр
dQ = (1/4!) еШт dQMm = V~g Eiklm d<!) X' d(2> х» d‘3> x! dw x™. (9.61)
Для преобразований с положительным а псевдоскаляр dQ — инвариант и изменяет знак при преобразованиях с отрицательным а. Если векторы d<r) Xі (г — I, 2, 3, 4) лежат в положительных направлениях координатных кривых так, что
aW .Vі = (dx\ 0, 0, 0); d<2> Xі = (0, dx2, 0, 0) и т. д., (9.62)
то соответствующий четырехмерный объемный элемент сводится к
dQ = V — g dx\ dx = dx1 dx2 dx3 dx4.
(9.63)
220
Теперь в некоторой области ?2 4-пространства рассмотрим инвариантную функцию L (х). Это значит, что при произвольных координатных преобразованиях
Ж (х) = L' (*')• (9.64)
Тогда интеграл
X = §L (x)Y—g dx1 dx2 dx3dx4 (9.65)
b
является инвариантом. В самом деле, по теореме Якоби имеем
X - 5 L (х) Y~g dx --= J L (х) Y~g (dxldx’) dx', (9.66)
S2 a
где якобиан
dx/dx' — К dx‘jdx'k || = | a j. (9.67)
Используя~(9.46) и (9.64), из (9.66) получаем
Ж = (X) Y~g' dx', (9.68)
что и требовалось доказать.
Если положить
С = Y~gL(x), (9.69)
то инвариантный интеграл (9.65) примет вид
%=\&(x)dx. (9.70)
а
По этой причине ? (х) называется скалярной плотностью веса 1 или тензорной плотностью нулевого ранга. В соответствии с (9.46) ее закон преобразования следующий:
2' (х!) = I a j С (*) = (1/| a |) S (.г). (9.71)
Тензорная плотность веса п определяется как величина, для которой в формуле преобразования (ос | заменяется на \а\п. Аналогично тензорной плотностью произвольного ранга и веса 1 называется величина, компоненты которой преобразуются как компоненты тензора и умножаются при этом на |<х| = = 1/|а|. Если а!, 4ik и т. д. — тензоры ранга 1, 2 и т. д., то
о1’ = Y—g a1; Ciik = Y—§ tlk 11 т- Д- (9.72)
— тензорные плотности ранга 1, 2 и т. д. соответственно. Опускание индексов производится по тем же правилам, что и для тензоров.
Из (9.49) следует, что
^yzrg Cikim^8iklm (9.73)
является контравариантной псевдотензорной плотностью ранга 4. При интегрировании по инфинитезимальной области d Q в окрестности точки (х1) тензорная плотность дает тензор в этой точке. Например, dAl = [ Q1 dx яв-
dQ
ляется вектором. Ho интеграл At = j a* dx по конечной области, в общем
случае, может не быть вектором, поскольку преобразование векторной плотности а* в различных точках различно. И только в прямоугольных координатах плоского пространства этот интеграл снова представляет собой вектор. В этом случае Ai называется свободным вектором, так как он не связан с ка-
221
кой-либо точкой пространства. Например, полный 4-нмпульс. замкнутой ограниченной системы E СТО (CM. § 6.2) является свободным вектором.
В трехмерном пространстве с положительно определенным метрическим тензором Ytiv, когда определитель YhVv I > О, с помощью трехмерного псевдотензора с каждым антисимметрическим тензором ранга п ^ 3 можно связать псеЕДОтензор ранга (3 — п):
V*== Г-''2Sliv*.; et*vx = y-i/2etivx. (9.74)
Теперь коварііантньїе и контравариантные компоненты аксиального век-гора Н, дуального к антисимметрическому тензору H^v, Hliv равны
Hvx J 2 --= -1'2 e*vx H'V2;
т - Hvh/2 = Y-1/2 V-X 2
или
(H1. H,, Я,) - tf3\ H1-); I
(Я\ Н\ Я*) = -Yу (Н23, H31, W18),J ‘ '
т. е.-
= e^vX Hx, Hliv-=ClivkHK
В частности, если H^iv имеет форму H^ = a^bv — аУЬгде а и b—3*векторы, го соответствующий дуальный вектор является векторным произведением а X b с компонентами:
