Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Yu. = 0; Yjiv = Yhv; X'= -C2 (gi4 + 1)/2, J
Используя преобразования (8.146), легко проверить, что (8.147) совпадает с (8.143).
В рассматриваемой ускоренной системе гравитационное поле не статическое. В соответствии с (8.145) здесь даже пространственная геометрия зависит от времени, т. е. расстояние между двумя соседними точками изменяется с течением времени. Это очевидно, поскольку измерительные линейки в ускоренной системе по мере увеличения скорости gt относительно
204
! будут все в большей степени подвергаться лоренцеву сокращению. Хотя с точки зрения наблюдателя в / наша система отсчета жесткая, наблюдатель в самой ускоренной системе обнаружит, что точки этой системы удаляются друг от друга в направлении оси х.
При малых значениях t и х, т. е. с учетом лишь членов первого порядка малости по gt/c и gx/c2, имеем
t' = t (I — gx/c2); gi4 — — (I + 2 gx-rIci); %' = gx и из?(8.112) получаем
а»=—д%'/дхф=—(g, 0,0), (8.149)
т. е. в данном'приближении гравитационное поле постоянно.
§ 8.15. Жесткие системы отсчета с произвольно движущимся началом
Система отсчета называется жесткой, если расстояние между двумя точками системы, измеренное покоящейся относительно нее измерительной линейкой, не меняется со временем. Следовательно, равномерно вращающаяся система, рассмотренная в § 8.9, жесткая, а система, рассмотренная в конце § 8.14, нежесткая. Пусть относительно системы / движется произвольным образом частица с координатами Xi = (X, Y, Zi ісТ). Ее мировая линия может быть описана уравнениями
Xi = Zi(T), (8.150)
где т — собственное время частицы. Попытаемся ввести такую систему координат (х1) = (х, у, г, ct), которая будет релятивистским аналогом классической жесткой системы декартовых осей, движущихся вместе с частицей так,
что частица все время находится в начале координат, а пространственные оси все время имеют одинаковые направления. В § 4.14 мы определили последовательные мгновенно инерциальные системы покоя частицы S' (т), полученные с помощью последовательных инфинитезимальных преобразований Лоренца без вращений пространственных осей. В этом случае преобразования от фиксированной системы (Xi) к координатам х[ в Sr (т) даются формулами (4.143), где коэффициенты аИ< (г) определяются из дифференциальных уравнений (4.139), (4.140).
Теперь, если определим систему (х‘), полагая в (4.143)
Xix = X^; х'=0; t — т, (8.151)
получим, что одновременные положения точек в системе (х1) в момент времени t совпадают с одновременными положениями точек в системе S' (т) в момент времени X1i = 0 и эти совпадающие точки в обеих системах имеют одинаковые значения пространственных координат. Следовательно, преобразования от переменных (Xj) к переменным (Xі) имеют вид
Xi = fi(t) +x''avi(t), (8.152)
где коэффициенты OLik являются решениями уравнений (4.139). Эти уравнения полностью определяются движением (8.150) частицы, которая все время находится в начале х** = 0 системы (х'). Дифференцируя (8.152) и учитывая (4.139), получаем
ClXi = Ifi (t) -f- xv avt (t)} dt + dx1 avi (t) =
= (Ui + Xv аV/ ?гг) dt -f dxv avi. (8.153)
Подставляя (8.153) в выражение для интервала и используя (4.141), находим, что
ds2 = dX; dXt = dx2 + dy2 -j- dz2 — с2 dt2 (I -j- gv xv/c2)2;
Xі = (x*-1, ct) = (x, y, z, ct),
(8.154)
205
где
gy = gy (t) = CiylUl = CXy [ J1 (8.155)
зависят только от і и полностью определяются движением начала нашей системы координат (х*) относительно системы (Xi). Величины gv равны компонентам ускорения частицы в ее мгновенной системе покоя S' (t) [см. (4.42), (4.42')].
Система координат (Xі), заданная соотношениями (8.152), времениортстональна. Соответствующая система отсчета — жесткая, поскольку расстояние между двумя точками этой системы (х, у, z) и (х + dx, у + dy, г + dz) дается выражением
da2= dx2 -jT dy2+ dz'2. (8. і 56)
Следовательно, в этой системе пространственная геометрия евклидова, а (х, у, z) — пространственные декартовы координаты. Здесь векторный по* тенциал равен нулю, а для скалярного потенциала имеем выражение
\
Т««т.;-Тц.т—у -г
Таким образом, очевидно, что зависимость скалярного потенциала от пространственных переменных всегда одинакова, но коэффициенты g g (і) раз-
личны при различных движениях начала. Гравитационное ускорение в этой системе определяется формулой
а== — grad X= — g(l + g-x/c2). (8.158)
Поэтому в окрестности начала координат системы, где (g ¦ х) с2, гравитационное поле однородно, а гравитационное ускорение а --- — g = — g (1.) есть функция і и однозначно определяется движением начала х = 0 относительно I. Скорость хода стандартных часов, покоящихся в точке х, определяется из (8.116) и (8.157):
с?ти = ^<#(1 +g-x/c'2). (8.159)
В начале координат х = 0 имеем т0 = t, т. е. координатные часы в этом месіе являются стандартными часами.
Можно показать, что рассмотренный здесь тип ускоренной системы отсчета и вращающаяся система (§ 8.9) представляют собой единственно возможные жесткие системы отсчета для случая устранимых гравитационных полей.
