Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
действием тяготения она неудержимо сжимается и в определенный момент
радиус звезды станет равным гравитационному, а она превратится в "черную
дыру".
"Черные дыры" пока еще не открыты, хотя очень многие ученые и не
сомневаются в их существовании. Если "черные дыры" будут обнаружены, то
это, несомненно, будет крупнейшим научным событием.
Можно также представить себе, что сравнительно небольшая масса, например
в несколько тонн, по каким-то причинам оказалась заключенной в таком
маленьком объеме, соответствующем формуле (30.16), что превратилась в
маленькую "черную дыру". По одной из гипотез предполагается, что
некоторое количество таких черных дыр осталось от первоначального
сверхплотного состояния Вселенной. Они называются реликтовыми'"черными
дырами" и также пока не обнаружены в природе.
31. Движение планет и комет
Уравнение движения. В первом приближении, как это было показано в § 30,
можно считать, что Солнце неподвижно, и пренебречь силами взаимодействия
между планетами. Обозначим массу планеты т, массу Солнца М и будем
называть их материальной точкой и центром сил соответственно. Начало
системы координат поместим в центр Солнца. Уравнение движения планеты
запишется в виде
rfv п тМ г п
т- <31Л>
где г - радиус-вектор планеты.
Уравнение моментов. Сила, действующая на материальную точку, направлена
вдоль радиуса-вектора. Момент этой силы относительно
196
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
центра сил равен нулю, и уравнение моментов (22.4) имеет следующий вид:
?jj- =M-[r, F] = 0. (31.2)
Следовательно, момент импульса материальной точки относительно центра сил
равен постоянной величине как по модулю, так и по направлению:
N = [г, my] = const. (31.3)
Плоскость движения. Равенство (31.3) можно переписать в виде
т [г, г] = const.
(31.4)
Отсюда следует, что элементарное перемещение dr - \dt и радиус-вектор г
лежат в плоскости, перпендикулярной N. Это означает, что движение
происходит в одной и той же плоскости, т. е. является плоским движением.
Второй закон Кеплера. Он утверждает, что
отрезок, соединяющий Солнце с планетой, описывает за равные промежутки
времени равные площади.
Этот закон является непосредственным следствием закона сохранения момента
импульса (31.3). В самом деле, равенство (31.3) можно переписать так:
[г, dr]=~d*. (31.5)
Установим геометрический смысл левой части этого равенства. Как это
непосредственно видно на рис. 61, векторное произведение [г, dr] по
абсолютному значению равно удвоенной площади треугольника, построенного
на векторах г и dr:
| [г, dr] | = | г 11 dr | sin (г, dr) = rdr sin a = rdh= 2dS. (31.6)
Вектор [r, dr] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы г и dr.
Если взять некоторую элементарную поверхность dS, то она полностью
характеризуется своей величиной и ориентировкой в пространстве. Ее
ориентировка в пространстве определяется направлением перпендикуляра к
ней. Поэтому представляется естественным характеризовать элемент
поверхности вектором dS, перпендикулярным поверхности и по абсолютному
значению равным ее площади. Необходимо лишь условиться о направлении. Оно
дается правилом правого винта. Некоторый обход элемента поверхности
принимается за положительный, и вектор dS считается направленным в
сторону движения винта, если вращение его головки совпадает с обходом.
31. Движение планет и комет
197
Положительным обходом площадки [г, dr] считается движение от первого
слагаемого ко второму, Поэтому элемент поверхности выражается формулой dS
=
= У [г, dr] и закон сохранения момента
импульса (31.5) можно записать так:
dS:
_N_
2т
dt.
(31.7)
Поскольку N = const, то, интегрируя обе части этого равенства во времени,
получаем
S-S0
JL
2т
(31.8)
61.
Изображение площади вектором, перпендикулярным поверхности, на которой
лежит эта площадь
ИЛИ
(31.8а)
гг = GM/c2.
Это есть второй закон Кеплера, утверждающий, что за равные промежутки
времени радиус-вектор планеты описывает равные площади.
Первый закон Кеплера. Он гласит, что
все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в
одном из фокусов.
Для доказательства этого закона нужно найти орбиту. Расчет удобно вести в
полярной системе координат, плоскость которой совпадает с плоскостью
орбиты. Прежде всего необходимо записать законы сохранения энергии и
момента импульса в полярных координатах. Для этого элементарное
перемещение dr разложим на два: (dr)^, перпендикулярное радиусу г
полярной системы координат, и (dr)r по направлению этого радиуса (рис.
62). Первое перемещение обусловлено изменением угла ф при движении, а
второе - изменением расстояния г планеты от начала координат. Единичный
вектор, направленный перпендикулярно радиусу г в сторону возрастания угла
ф, обозначим e,f,
v
Разложение вектора скорости в полярной системе координат на две
составляющие: вдоль радиуса и перпендикулярно ему
198
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
а в сторону возрастания радиуса - ег. Перемещение dr можно представить
