Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
перпендикулярны радиусам. Проведем через середину площадок плоскости,
перпендикулярные радиусам, и обозначим проекции площадок dSi и dS2 на эти
плоскости через dS[ и dS2 соответственно. Углы между этими плоскостями и
касательными плоскостями у обеих площадок равны по теореме о касательных
в концах хорды: 0Х = 0S = 0. Поэтому получаем
dS[ = dSi cos 0, dS2 = dS2 cos 0. Следовательно, (30.10) можно переписать
в виде
dFx = Gmpdr dF2 = Gmpdr~
2
(30.10)
(30.10')
Но (diSi/rf) = (dS'cfrl) = dQ есть одинаковые телесные углы, под которыми
площадки dSx и dS2 видны из О. Величины 1/cos 0 также
30. Свойства сил тяготения
189
одинаковы. Следовательно, dFx и dF2 равны по абсолютному значению, но
направлены противоположно и поэтому компенсируют друг друга. Суммарная
сила, действующая на точку в полости со стороны симметрично расположенных
масс на площадках dSx и dS2, равна нулю. Каждая из площадок имеет себе
симметричную. В результате получаем, что
полная сила, действующая на материальную точку внутри полости со стороны
бесконечно тонкого шарового слоя, равна нулю.
Шаровой слой конечной толщины можно представить в виде суммы (интеграла)
шаровых слоев малой (бесконечно малой) толщины. Поэтому утверждение
справедливо также для шаровых слоев любой толщины. .
Вычислим силу тяжести на глубине h ниже поверхности Земли. Она будет
меньше, чем на поверхности Земли, потому что весь шаровой слой, лежащий
выше глубины h, не дает никакого вклада в эту силу. Уменьшение силы
тяжести равно той силе в точке на глубине h, которую может создать масса
Земли в слое толщиной h от поверхности Земли, помещенная в ее центр. В
центре Земли сила тяжести равна нулю. Нетрудно видеть, что при удалении
от центра Земли сила тяжести растет пропорционально первой степени
расстояния от центра. В самом деле, масса, заключенная в шаре радиуса г,
меньшего радиуса Земли, равна 4лг3 р/3, где р - плотность Земли. Поэтому
сила, действующая на массу т внутри Земли, расположенную на расстоянии г
от центра, равна
4л
F = G
г*рт
= const • тг.
Так происходит до поверхности Земли. Вне поверхности сила убывает обратно
пропорционально квадрату расстояний. График зависимости силы тяготения от
58.
Вычисление силы, действующей на точку в шаровой полости
Из вычислений получено, что внутри шаровой полости со сферически
симметричным распределением массы силы тяготения отсутствуют
I
Замена поля шарообразного тела полем материальной точни возможна для всех
сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояний, в том числе и
для электрических сил, действующих по закону Нулона.
190
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
Зависимость поля тяготения от расстояния до центра однородного
шарообразного тела радиуса R
I
При вычислении сил тяготения полость в материальном теле мошно формально
рассматривать нан "отрицательную" массу в. сплошном теле.
Можете ли Вы доказать, что центральные силы являются всегда
потенциальными!
Каким свойством сип тяготения обусловлена эквивалентность поля тяготения
вне шара со стороны шара со сферически симметричным распределением массы
и со стороны материальной точки с массой шара, помещенной в его центре!
расстояния до центра однородного шарообразного тела приведен на рис. 59.
Поле вблизи поверхности Земли. Обозначим радиус Земли R0, а расстояние от
ее поверхности до материальной точки массы т через h, причем h R0. Полное
расстояние от центра Земли до материальной точки есть R0 + h, и,
следовательно, в соответствии с формулой (30.8) сила тяжести
F = GMm/(R0 + h)2. Учтем, что
1 1 1 (Д0 + Л)2 1
(30.11)
щ
Щ (1 + А/До)*
(30.12)
где отброшены члены (h/R0)2 и члены более высоких степеней, потому что
уже член h/Rо очень мал. Например, для расстояний в пределах высот полета
самолета порядка 20 км (h/R0) 3-10-3. Квадрат этой вели-
чины отличается от единицы уже в миллионных долях. В большинстве случаев
нет необходимости учитывать изменения силы тяжести, составляющие лишь
незначительную долю ее величины. Например, при падении тел с высот до 1
км изменение силы тяжести составит меньше 2 (h/R0) " 3 ¦ 10~4. С этой
точностью можно считать силу тяжести постоянной, независимой от высоты и
на основании (30.11) и (30.12) равной
F0 = (GMm/Rl) = gm,
(30.13)
где g = (GMIRl) = 9,8 м/с2 есть ускорение силы тяжести у поверхности
Земли. В этом приближении рассматривается большое число задач, связанных
с силой тяжести вблизи поверхности Земли.
Гравитационная энергия. Формула (27.35а) показывает, что потенциальная
энергия равна работе, которую совершают силы поля при удалении частицы из
точки ее нахождения на бесконечность.
30. Свойства сил тяготения
191
При перемещении частицы из одной точки в другую ее потенциальная энергия
изменяется и на такую же величину изменяется кинетическая энергия, так
что сумма этих энергий остается постоянной. Поэтому возникает вопрос о
физическом носителе той энергии, за счет которой изменяется кинетическая
энергия тела, т. е. о физическом носителе потенциальной энергии.
