Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
различна, т. е. является функцией от 0. Таким образом, получаем
/ = 2л ^ cos 0 sin ЫВ1 (0). (30.5)
о
Из равнобедренного треугольника DAB находим, учитывая, что его высота DE
= R sin 0, длину хорды на луче под углом 0:
/ (0) = 2 jAi2 - /?2 sin2 0. (30.6)
Из рис. 55 видно, что угол 0Х есть угол между осью z и касательной,
проведенной к окружности из начала координат. Поэтому sin 0! = a/R.
Теперь окончательно вычисляем интеграл (30.5):
о. __________________
I - 2л J 2 ]/а2 -¦ R2 sin2 0 cos 0 sin 0d0 =
о
e=e,
о i г~г р2 • го -В2 sin2 б)
- 2л \ у а2 - R2 sin2 0 ---^2---------- =
е=о
= "Ж [4 <•"* - R' sin! в)-]:' = ТГ а3 W- <30.7)
Подставляя это выражение для интеграла в формулу (30.3) и принимая во
внимание, что р4ла3/3 = М есть масса шарообразного тела, получаем
F- GmM/R2,
(30.8)
т. е. это тело действует на материальную точку так, как если бы вся масса
тела была сосредоточена в его центре.
Поэтому взаимодействие шарообразных однородных материальных тел можно
рассматривать как взаимодействие материальных точек.
Из формулы (30.8) следует, что потенциальная энергия материальной точки
массы т, находящейся на расстоянии R от центра шарообразного тела массы
М, равна
U - -GmM/r.
(30.8а)
30. Свойства сил тяготения
187
За счет какого физического фактора возникает такая интересная особенность
действия гравитационных сил? Для ответа на этот вопрос необходимо
вернуться к формуле (30.2) (cos 0 сейчас нас не интересует). Из
математики известно, что телесным (пространственным) углом dQ (рис. 56)
называется отношение площади поверхности сферы, на которую опирается этот
угол, к квадрату радиуса сферы. Отсюда заключаем, что в сферической
системе координат элемент бесконечно малого пространственного угла dQ =
dSfr2 = = sin Oddd(p. Поэтому формулу (30.2) для силы, с которой масса
элемента объема dV действует на материальную точку, можно записать в виде
dF - GmpdQdr. (30.9)
Следовательно, сила со стороны материального слоя толщиной dr зависит
только от угла, под которым он виден, и не зависит от расстояния до слоя
(рис. 57). Такая ситуация обусловлена убыванием силы тяготения именно
обратно пропорционально квадрату расстояний. Если бы, например, сила
убывала как 1 /г3, то этого не было бы.
С другой стороны, ясно, что любая сила, убывающая обратно пропорционально
квадрату расстояний, должна обладать тем же свойством, например силы,
описываемые законом Кулона.
Рассмотрим взаимодействие двух шарообразных тел. Поскольку каждое из них
взаимодействует с каждой материальной точкой другого тела так, как если
бы тело было само материальной точкой, расположенной в его геометрическом
Центре, то два шарообразных тела притягиваются друг к другу с той же
силой, с какой притягиваются материальные точки с соответствующими
массами, расположенные в их геометрических центрах.
К понятию пространственного угла
Этот угол измеряется безразмерным числом, равным отношению площади S,
выделяемой им на поверхности сферы с центром в его вершине к квадрату
радиуса Г сферы
57.
Масса тонкого сферического слоя, заключенного внутри некоторого
пространственного угла dQ, растет пропорционально квадрату расстояния от
вершины угла. Поэтому поле тяготения, создаваемое таким слоем в вершине
угла, не зависит от его расстояния до слоя
188
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
Сила со стороны шарового слоя. Из только что доказанного утверждения
непосредственно следует, что
шаровой слой действует на находящуюся во внешнем пространстве
материальную точку так, как если бы вся масса шарового слоя была
сосредоточена в его геометрическом центре.
В самом деле, сила от шарообразного тела может рассматриваться как сумма
сил от меньшего шарообразного тела и шарового слоя, дополняющего это тело
до первоначального. Поскольку сила от шарообразного тела сводится к силе
от материальной точки, расположенной в его геометрическом центре, сила от
шарового слоя равна силе от материальной точки, расположенной в его
геометрическом центре, но с массой, равной разности масс шарообразных
тел, т. е. с массой шарового слоя, что и требовалось доказать.
Сила в шаровой полости. Однако если материальная точка находится внутри
полости, ограниченной шаровым слоем, то на нее никакая сила не действует.
Чтобы это показать, рассмотрим действие на материальную точку со стороны
бесконечно тонкого шарового слоя толщиной dr.
Возьмем участок шарового слоя площадью dSu на котором находится масса
pdrdSv Симметрично ему расположен другой участок поверхности шарового
слоя dS2, видимый из точки О под тем же телесным углом dQ (рис. 58). На
этом участке имеется масса pdrdS2. На рисунке изображено сечение в
плоскости, проходящей через центр шарового слоя и линию, соединяющую
площадки. Силы, действующие на массу т в точке О со стороны этих
участков, направлены противоположно и равны:
Заметим, что величины dSJrl и dSJrl не являются телесными углами, под
которыми эти площадки видны из точки О, потому что их поверхности не
