Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
dt
= FX.
Умножив обе части этого уравнения на vx и учтя, что v {dv/dt) = 1/2 [d
(Vx)ldt],
47.
Уменьшением расстояния вращающейся материальной точки от оси вращения под
действием силы, направленной к оси вращения, обусловлено возрастание
угловой и линейной скоростей точки в силу закона сохранения момента
импульса
В каком случае закон сохранения момента импульса можно применять к
неизолированной системе!
Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона
сохранения момента импульса!
т0
(27.1) 48.
К вычислению работы силы в случае одномерного движения
156
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
получим
эг(тг)"'л- (27.2)
В правой части этого равенства заменим vx = dxldt и обе части его умножим
на dt. Тогда
2
d{^) = Fsdx. (27.3)
В этом виде равенство имеет очень наглядный смысл: при смещении точки на
dx сила совершает над ней работу Fxdx, в результате чего изменяется
величина m0vx/2, характеризующая движение тела и, в частности, абсолютное
значение его скорости. Величина т0их/2 называется кинетической энергией
тела. Если тело смещается из положения хг до х2, а его скорость при этом
изменяется от vxl до vx2, то, интегрируя (27.3), имеем
= VX2 , **
$ d{^)=\F"dx. (27.4)
Учитывая, что
Х2
m0i>2 '
mQv-x 2 m0v^
окончательно находим
(27.5)
т. е. изменение кинетической энергии материальной точки при ее
перемещении между двумя положениями равно совершенной при этом силой
работе.
Интеграл в правой части (27.5) является пределом суммы элементарных
работ, которые совершаются при элементарных перемещениях. Весь промежуток
между точками хх и х2 разбивается на маленькие отрезки (х2 - хг = ? Ахг),
на каждом из них сила имеет некоторое значение Fxi (неважно, в какой
точке интервала Ах{ берется значение силы Fxi). Элементарная работа на
участке Дя* равна
27. Закон сохранения энергии
157
ДА j = Fxikxi% а полная работа на всем перемещении от хх до хг будет
Устремляя длины интервалов Дх* к нулю, а их число - к бесконечности,
получим работу силы при перемещении от точки хг к точке х2:
Из (27.5) видно, что кинетическая энергия материальной точки изменяется,
если силы не равны нулю. Таким образом, при наличии силы кинетическая
энергия не сохраняется. Она остается постоянной лишь в отсутствие сил,
потому что при Fx = О из (27.5) следует
Но этот закон сохранения кинетической энергии материальной точки в
отсутствие сил тривиален, поскольку закон сохранения импульса в
отсутствие сил уже устанавливает постоянство скорости, а следовательно, и
ее квадрата.
Если перемещение материальной точки не совпадает с направлением силы, то
работу производит компонента силы вдоль перемещения. Работа равна
абсолютному значению силы, умноженному на косинус угла между силой и
перемещением. Поскольку элементарное перемещение точки является вектором
dl, а сила F - тоже вектор, элементарная работа может быть представлена в
виде их скалярного произведения:
Пусть точка движется не вдоль прямой, как в (27.1), а по произвольной
траектории (рис. 49). В этом случае работа силы при перемещении из точки
1 в точку 2 также выразится как предел суммы элементарных работ (27.9) на
всем пути. Разобьем траекторию движения на малые отрезки Д1ь один из
которых изображен на рис. 49. Элементарная работа на этом отрезке равна
ДАг = (F*, Д1,) =
= Fihli cos (Fi, Д14). Сумма же всех элементарных работ приближенно равна
работе при перемещении из точки 1 в точку 2. Устремляя длины отрезков Д1"
к нулю, а их число - к бесконечности, получим работу
(27.6)
(27.7)
m0vl 2 m0v*xl
2 2
== const.
(27.8)
dA=FdZcos(F, dl) = (F, dl).
(27.9)
158
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
49.
К вычислению работы силы при движении по произвольной траектории
I
В случав одномерного движения, ногда известна сила, зависящая только от
координат, уравнения движения всегда решаются посредством двух квадратур.
р = const.
N = const.
силы при перемещении вдоль произвольной траектории:
(2)
А= lim У(?и dl,) = \ (F, dl). (27.10)
41г°т А
L
Интеграл в правой части (27.10) называется криволинейным, взятым вдоль
линии L между точками 1 и 2. В обозначении пределов интегрирования буква
L указывает на конкретную линию, которой соединяются точки 1 и 2. Часто
этот значок опускают, потому что известно, какая линия имеется в виду.
Последовательность точек (1) внизу интеграла и (2) вверху говорит о
направлении, в котором мы передвигаемся по этой кривой, в данном случае
от точки 1 к точке 2. Конечно, по той же кривой можно двигаться из точки
2 в точку 1. В этом случае пределы у интеграла в (27.10) надо было бы
поменять местами. Если изменить направление движения вдоль кривой на
обратное, то изменится только знак интеграла. Это видно из того, что
направление всех элементарных перемещений dl; изменяется на
противоположное, а сила в каждой точке остается неизменной и,
следовательно, знаки всех элементарных работ (F, dl) изменятся на
обратные.
При рассмотрении общего случая надо вместо уравнения (27.1) взять общее
