Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
_mdv__\
Vi-V21c2}'
где учтено, что vx = v есть вектор скорости частицы. Таким образом,
получаем релятивистское уравнение движения частицы:
(21.10)
которое является обобщением уравнения движения Ньютона (20.1). Более
удобно представить его в виде, аналогичном (20.3):
(21.11)
Величина m называется релятивистской массой или просто массой; т0 - масса
покоя, р называется релятивистским импульсом или просто импульсом.
Обычно нет необходимости специально оговаривать, что импульс является
"релятивистским", масса - "релятивистской" и т. д , потому что когда
скорости очень большие, релятивистские, то можно использовать только
релятивистские выражения импульса и массы, а когда скорости малы, то эти
выражения автоматически превращаются в нерелятивистские.
Несовпадение направлений силы и ускорения в релятивистском случае.
Поскольку инертность тела различна в направлении движения и
перпендикулярном направлении, вектор полной силы неколли-неарен вектору
полного ускорения, т. е. вектору изменения скорости, вызываемого этой
силой, как это показано на рис. 42. Как видно из уравнения (21.11), с
вектором силы совпадает по направлению вектор изменения импульса. Вот
почему в нерелятивистском случае различие между уравнениями Ньютона
(20.1) и (20.3) чисто формальное и сводится к изменению обозначений, но
для обобщения на релятивистский случай они не равноценны. Уравнение
Ньютона в форме (20.3) непосредственно обобщается на релятивистский
случай (21.11) простой подстановкой массы, зависящей от скорости.
d / WpV \ _ F dt \Vi-v2/c2j
d { m6vt \ d
dt у 1 - v2jc2 J ~ dt
142
Глава 5. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
43.
К определению понятий момента импульса и момента сил
Вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, в которой лежат
радиус-вектор и импульс точки, а вектор момента силы перпендикулярен
плоскости, в которой расположены радиус-вектор и сила. Точка О - начало
отсчета радиусов-векторов
Момент импульса и момент силы определяются относительно точки.
Произвольно ли состояние движения этой точки!
Чем отличаются выражения для моментов импульса и силы в нерелятивистском
и релятивистском случаях!
3 При каких условиях справедливо уравнение моментов!
4 Как зависят моменты силы и импульса от положения точки,
относительно которой они вычисляются!
dt ' p = mv,
т ¦¦
гщ
|/*1 - vz/c2'
22. Уравнение моментов
Момент импульса. Пусть положение некоторой материальной точки
относительно точки О, принятой за начало, характеризуется радиусом-
вектором г. Моментом импульса материальной точки относительно О
называется вектор (рис. 43)
N = [г, р].
(22.1)
Это определение справедливо как для нерелятивистского, так и для
релятивистского импульса. В обоих случаях импульс р по направлению
совпадает со скоростью материальной точки.
Момент силы. Моментом силы, действующей на материальную точку,
относительно точки О (рис. 43) называется вектор
М = [г, F].
(22.2)
Под F здесь, как и в других случаях, понимается равнодействующая всех
сил, действующих на материальную точку.
Уравнение моментов. Продифференцируем момент импульса (22.1) по времени:
rdr dt
dN Г dr "1 . Г dpi
*- = [;"• pJ + Lr' t\-
(22.3)
Учтем, что (dr/dt) = v является скоро-ростью, по направлению совпадающей
с импульсом р. Векторное произведение двух параллельных векторов равно
нулю. Поэтому первый член в правой части (22.3) равен нулю, а второй член
выражает момент сил (22.2), поскольку в соответствии с (21.11) (dp/dt) -
F. В результате уравнение (22.3) превращается в уравнение моментов
(22.4)
которое играет важную роль при рассмотрении движений материальных точек и
тел.
23. Уравнение движения системы материальных точек
143
23. Уравнение движения системы материальных точек
Система материальных точек. Системой материальных точек называется
совокупность конечного их числа. Следовательно, эти материальные точки
можно пронумеровать. Примером такой системы может служить газ,
находящийся в некотором объеме, если по условиям задачи его молекулы
могут считаться материальными точками. Солнце и планеты, входящие в
солнечную систему, могут рассматриваться как система материальных точек
во всех вопросах, когда внутреннее строение и размеры Солнца и планет не
играют роли. С течением времени взаимное положение отдельных точек
системы, вообще говоря, изменяется.
На каждую из точек системы действуют силы двоякого происхождения: во-
первых, силы, источники которых лежат вне системы, называемые внешними
силами; во-вторых, силы со стороны других точек системы, называемые
внутренними силами. Обычно принимается, что внутренние силы удовлетворяют
третьему закону Ньютона.
Частным случаем системы материальных точек является твердое тело.
Характерная особенность этой системы заключается в постоянстве расстояний
между точками, ее составляющими. Эти точки будем нумеровать индексами,
например индексами i, /' и т. д., которые пробегают все значения 1, 2, 3,
..., п, где п - число точек системы. Физические величины, относящиеся к
