Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
уравнение движения
m0-J=F. (27.11)
а дальше провести вычисления, аналогичные тем, которые были разобраны в
связи с уравнением (27.5). Умножая обе части уравнения (27.11) скалярно
на скорость v = dr/dt и учитывая, что
27. Закон сохранения энергии
159
получаем, как и в (27.3),
d (^f-) ¦= (F,*).
(27.13)
Вектор с?г означает то же, что и вектор перемещения dl. В уравнении
(27.10) было написано dl, чтобы подчеркнуть, что интеграл определяется
исключительно линией, вдоль которой проводится интегрирование, и силами в
точках на линии и не зависит от того, где помещена точка, относительно
которой отсчитывается радиус-вектор.
Интегрируя, обе части (27.13) по траектории движения материальной точки
между ее положениями 1 и 2, находим
(27.14)
1
Нриволинейный интеграл, по определению, не отличается от интеграла одной
переменной, надо лишь разбить на участии путь интегрирования, вычислить
для намдого участка величину подынтегрального выражения, а затем сумму
этих величин для всех участков кривой и найти предел этой суммы при
стремлении величины каждого участка к нулю, а их числа к бесконечности.
Относительно равенства (27.14) можно сделать те же замечания, которые
были сделаны в связи с (27.8), добавив, что в отсутствие сил траектория
движущейся точки является прямой линией.
Можно сказать, что (27.14) выражает закон сохранения энергии, если иметь
в виду не только механические формы энергии, но и всевозможные другие, т.
е. выйти за рамки механики. Дело в том, что в правой части этого
равенства стоит величина, имеющая размерность энергии. Однако может
оказаться, что выяснить физический смысл этой величины, оставаясь в
рамках механики, невозможно, потому что она совсем другой, немеханической
природы. Например, если сила является силой трения, то интеграл в правой
части (27.14) выражает в определенных единицах степень нагревания
movU 2 movh 2 X, = ^ Fx dx.
Xi
160
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
среды, о которую трется тело. Потребовалось немало труда, чтобы выяснить,
что представляет собой форма энергии, называемая теплотой. Понимание
смысла величины, стоящей в правой части (27.14), привело к созданию
нового раздела физики, называемого термодинамикой.
Однако во многих случаях свойства сил таковы, что правая часть (27.14)
имеет ясный смысл в пределах механики. Именно эти случаи представляют
интерес для механики и будут здесь разобраны.
Потенциальные силы. Силы по их свойствам можно разбить на два класса. Для
сил одного класса работа при перемещении между двумя точками не зависит
от пути, по которому это перемещение произошло, для сил другого класса -
зависит.
Приведем в качестве примера силу сухого трения, направленную против
скорости, но в известных пределах не зависящую от нее. Ясно, что работа
силы пропорциональна длине траектории и поэтому зависит от траектории, по
которой произошло перемещение из одной точки в другую.
Хорошо известен и другой пример: работа, совершаемая при перемещении
некоторого груза в поле тяготения Земли из одной точки в другую, зависит
только от разности высот точек, но не зависит от конкретного вида
траектории, ее длины и т. д.
Силы, работа которых зависит лишь от начальной и конечной точек
траектории, но не зависит от ее вида, называются потенциальными. К этим
силам относятся силы тяготения.
Вместо выражения "потенциальные силы" чаще говорят "потенциальные поля".
Полем сил называется область пространства, в точках которого действуют
рассматриваемые силы. В выражении "поле сил" слово "сила" часто
опускается.
Математический критерий потенциальности поля. Потенциальным называется
поле, работа в котором, т. е. интеграл
(2)
S (F>rfl),
О)
зависит только от положений точек 1 и 2, но не зависит от вида пути,
соединяющего эти точки. Можно дать другое математическое выражение этому
определению. Соединим точки 1 и 2 двумя различными кривыми Lj и Ьг (рис.
50). Согласно определению потенциального поля можно написать:
(2) (2)
\ (F, dl) = J (F, dl).
Пути интегрирования в 27.16) между точками 1 я 2 различны. Если по пути
Ь2 идти не от точки 1 к точке 2, а в обрат-
(27.16)
(27.15)
27. Закон сохранения энергии
161
ном направлении, то знак интеграла изменится на противоположный:
(2) (1)
s (F, dl)-S (F, Л). (27.17)
(1) (2)
L>2 Li
Заметим, что направление движения по пути интегрирования не имеет
никакого отношения к направлению движения материальных точек. Вычисление
интеграла является чисто математической операцией. Например, в правой
части формулы (27.14) направление движения при интегрировании совпадает с
действительным движением точки. Однако нам ничто не мешает поставить
перед интегралом знак минус и вычислить его, двигаясь вдоль пути в
противоположном направлении.
С учетом (27.17) равенство (27.16) принимает следующий вид:
(2) (1)
J (F, Л)+ J (F, Л) = 0. (27.18)
(1) (2)
L\ Li
В левой части стоит сумма двух интегралов: в первом перемещение
происходит от точки 1 до точки 2 по пути Ьг, во втором - возвращение в
