Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
одна точка, где частица может покоиться. Это есть точка х', в которой
потенциальная энергия станет минимальной, что является условием
устойчивого равновесия.
Частица, находящаяся левее х3, может двигаться от точки х3 и до
бесконечности (если правее х3 потенциальная энергия нигде не поднимается
выше W). Между х2 и х3 движение невозможно. Область между хх и х2, в
которой частица оказывается запертой, называется потенциальной ямой, а
область между х2 и х3, через которую частица не может пройти, называется
потенциальным барьером. В классической механике потенциальный барьер
является абсолютным препятствием для движения частицы. В квантовой
механике при определенных условиях частица может пройти через
потенциальный барьер. Это явление называется туннельным эффектом и играет
важную роль в микромире. Более подробно этот эффект рассматривается в
квантовой механике.
28. Законы сохранения и симметрии пространства и времени
Полная энергия и энергия покоя. Все соображения, изложенные в
предшествующем параграфе относительно работы сил, потенциальности сил и
потенциальной энергии, остаются справедливыми и для движений с большими
скоростями, потому что при их рассмотрении было несущественно, с какой
скоростью движется тело. Различие заключается лишь в том, что вместо
нерелятивистского уравнения движения (27.11) необходимо исходить из
релятивистского уравнения движения (21.10):
d / m0v
, ,_______- ,-F. (28.1)
dt \ У1 - v2/c2 J
Так же как и в нерелятивистском случае (27.11), умножая обе части (28.1)
на скорость v, получим
у ±( m^-_J = (F, у). (28.2)
dt \ УЧ - v2/c2 }
Дифференцируем левую часть этого уравнения:
.. 1 / -.у \------------,.л'-у. -''-fM-i " 1 *}-
dt \ У 1 - v2]c2 j I 2 (1 - i>2/cV dt \ c2 / V1 -г>2/с2 dt )
----------2-57- / - V2- (- \ -f (1 - - ] iV, - )\ =
(1 - v2/ca) /* I 2 dt \c4 \ c2 / \. dt j J
m0
2 (1 - v2/c*) h dt \c2 l\ \ c* J j
1 nIqC2 d I v2 \ d j m0c2
~2 (1 - i^/c2)*'* dt Wj ~ dt 1 Vi - v2/c*
170
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Следовательно, равенство (28.2) принимает следующий вид:
йЫ=Ы=<р'^ <28-з>
где учтено, что v = (dr/dt) и обе части равенства умножены на dt. Сравним
(28.3) с равенством (27.13) нерелятивистской теории. Видно, что вместо
кинетической энергии сейчас в результате совершения силой работы
изменяется величина
ШоС2/}^! - v2/c2.
Пусть частица движется в поле потенциальной силы так, что сила,
действующая на нее, дается соотношениями (27.20). Тогда, отправляясь от
равенства (28.3), повторив все вычисления от формулы (27.20) до (27.28),
вместо нее получим
(28.4)
Эта формула выражает закон сохранения энергии в релятивистском случае.
Потенциальная энергия U имеет тот же смысл, что и в нерелятивистской
теории, а величина
Е =
тпс*
У1 - у2/с2
(28.5)
называется полной энергией тела. В том случае, когда тело покоится (v =
0), оно в соответствии с формулой (28.5) обладает энергией
Ео = т0с2, (28.6)
которая называется энергией покоя.
Выражение "полная энергия тела" в нерелятивистском случае означает сумму
его кинетической и потенциальной энергий, а в релятивистском случае оно
используется для названия не только величины (28.5), но и суммы этой
величины и потенциальной энергии тела. Необходимо следить за тем, чтобы
не путать между собой различный смысл одного и того же выражения.
Далее следует заметить, что в формуле (28.4) не учитывается собственная
энергия того тела, которое создает поле сил, действующих на
рассматриваемое тело. Оно предполагается неподвижным и имеет только
энергию покоя.
28. Законы сохранения и симметрии пространства и времени
171
Кинетическая энергия. При малых скоростях движения {vie) <1 1, поэтому (l
j j/~ 1 - 4j-) 1 -f ~ - и формулу (28.5) можно записать
в виде
i? = m0c2-fym0r2-f ... . (28.7)
Таким образом, в результате того, что тело приобретает скорость, к его
энергии покоя т0с2 прибавляется кинетическая энергия и эта сумма
представляет полную энергию движущегося тела. Поэтому кинетическая
энергия W тела, движущегося с произвольной скоростью, дается формулой
W = Е - тйс2 = т0с2
\ У\ - 1>2/г2
-1
(28.8)
При малых скоростях это соотношение с учетом (28.7) переходит в
классическое выражение для кинетической энергии (m0v2f2).
Соотношение между массой и энергией. Принимая во внимание
(21.11) для релятивистской массы
т0
ТП = -г ------
Vi- v2/c* '
равенство (28.5) для полной энергии представим в виде
(28.10)
Из сравнения (28.10) с (28.6) видно, что в обоих случаях энергия связана
с инертностью тела одной и той Же формулой. Благодаря этому оказываются
связанными между собой две важнейшие характеристики материи - энергия и
инертность, т. е. масса. Приведенный вывод соотношения между энергией и
массой показывает, что оно справедливо как соотношение между инертной
массой тела и его полной энергией, т. е. суммой кинетической энергии и
энергии покоя. Но выполняется ли оно для других видов энергии, например
для потенциальной энергии, может решить лишь эксперимент. Установленный
