Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
(58.22)
by (-4со; 4- coji) = - -^jr- Al, by = гАЦ 6.
(58.23)
(58.24)
ay = гАЦ 2.
(58.25)
(58.26)
364
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
что наиболее характерным следствием наличия нелинейности в силе является
возникновение высших гармоник в колебаниях.
Далее из (58.26) видно, что оба составляющих колебания с частотами о)0 и
2й)0 происходят не около точки х = 0, а около точки х = = (1/2)еЛо, т. е.
наличие нелинейного члена, пропорционального х2, сдвигает точку
равновесия, около которой происходят колебания. Этот результат вполне
понятен, если учесть, что сила, пропорциональная х2, направлена все время
в одну и ту же сторону и, следовательно, неизбежно должна сдвинуть точку,
около которой совершаются колебания.
Тем же путем можно рассмотреть случай, когда в разложении
(57.1) для силы отсутствует член с х2 [т. е. когда /" (0) = 0] и
необходимо учесть член, пропорциональный х3. В этом случае вместо (58.15)
имеем следующее уравнение:
которое может быть представлено в аналогичном (58.16) виде:
Параметром малости является величина т]. При т] -> 0 решение
(58.28) должно стремиться к гармоническому колебанию с частотой (й0.
Решение этого уравнения методом теории возмущений производится абсолютно
так же, как это было сделано выше. Наряду с основной частотой со0 в
первом приближении появится высшая гармоника, но не с удвоенной частотой,
а с утроенной. Это является следствием тригонометрической формулы
sin3 <о0г = -j- (3 sin <o0f " sin 3co00- (58.29)
Сила, пропорциональная х3, при равных по модулю положительных и
отрицательных значениях х имеет одну и ту же абсолютную величину, но
противоположное направление. Это означает, что эта сила является либо
силой притяжения к точке х = 0, либо силой отталкивания от нее,
действующей совершенно симметрично относительно этой точки. Поэтому
никакого сдвига точки, около которой совершаются колебания, не
происходит, как это было в предыдущем случае. Колебания с частотами о)0 и
3(о" совершаются около точки
Эти примеры показывают, что наиболее важной особенностью нелинейных
колебаний является возникновение высших гармоник. Какие именно гармоники
порождаются, зависит от характера нелинейности силы.
(58.27)
X-t-G)o*=
где
(58.28)
(58.28а)
59. Затухающие колебания
365
59. Затухающие колебания
Трение. Собственные колебания линейного осциллятора происходят в
отсутствие внешних сил. Энергия его колебаний сохраняется, а
следовательно, и амплитуда колебаний не изменяется. Собственные колебания
являются незатухающими.
При наличии трения, являющегося внешней силой, энергия колебаний
линейного осциллятора уменьшается, а следовательно уменьшается и
амплитуда колебаний. Колебания при наличии трения становятся затухающими.
Нетрудно видеть, что и частота колебаний должна изменяться. Сила трения
действует против скорости. Следовательно, для линейного осциллятора ее
действие эквивалентно уменьшению возвращающей силы, т. е. упругости
пружины (уменьшение величины к). Поскольку со = к/т, это означает, что
частота колебаний должна уменьшаться, а период увеличиваться.
При увеличении трения период колебания может увеличиться до сколь угодно
большого значения. При достаточно большом трении вообще никакого
колебания происходить не будет, потому что вся энергия осциллятора
расходуется на преодоление сил трения на очень коротком пути,
составляющем лишь часть колебания.
Уравнение движения. Рассмотрим силу жидкого трения. В правую часть
уравнения движения надо добавить силу жидкого трения, и оно приобретает
следующий вид:
тх =- кх-Ъх, (59.1)
где Ь - коэффициент трения, о смысле которого говорилось в § 53. Это
уравнение удобно переписать таким образом:
х + 2ух о>о? = 0, (59.2)
где у = Ь/2т, "о = к/т.
Частота и декремент затухания. Решение уравнения (59.2) удобно искать в
виде
х - А0в*Р{. (59.3)
Учитывая, что
± (е*Р') = - фе"Р', ~ (eW) = - pW, (59.4)
и подставляя (59.3) в (59.2), находим
(-р2 + 2iур -f- cog) = 0. (59.5)
Сомножитель A0 exp (ip<) не равен нулю. Следовательно, равным нулю должен
быть другой сомножитель:
- р2 -f- 2гуР +"0 = 0. (59.6)
Это квадратное уравнение относительно р. Его решения выражаются известной
формулой
Р = iy db У (dJ - у8 = iy db й; Й = }/<og - y*. (59.7)
366
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
Г рафик затухающих колебаний
•
1 Какой смысл имеет понятие периода затухающих колебаний, хотя они
непериодические!
2 Из каких соображений можно заключить, что частота затухающих
колебаний должна быть больше частоты соответствующих собственных
колебаний без затухания!
2 Что такое логариф-
мический декремент затухания!
Подставляя эти значения для р в (59.3), находим искомое решение:
х - (59.8)
Наличие знаков "±" в решении отражает тот факт, что уравнение (59.2)
является уравнением второго порядка и, следовательно, должно иметь два
независимых решения, которые получаются при различных знаках.
При не очень больших коэффициентах трения
у - (b/2m) < w0. (59.9)
В этом случае "о - у2 > 0 и, следовательно, й является вещественной
