Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
воспользоваться комплексной формой гармонических колебаний, записав в
этой форме силу, стоящую в правой части. Уравнение (60.3) принимает
следующий вид:
а его решение дается действительной частью решения уравнения
(60.4). Это решение ищем в виде
Здесь А не является, вообще говоря, действительной величиной. Подставляя
это выражение в (60.4), получим
Это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, т. е.
время t должно исключаться из него. Из этого условия следует, что р =
(о0. Найдя из (60.6) величину А и умножив ее числитель и знаменатель на
"о - g>2 - 2iyo>, можем написать
л Fo ______1______ _____ Fq юп в>2 2ty(0 /ЛЛ пЧ
т со; - to2-f- 2iy(0 т (соЦ - ы2)2 + 4у2со2' ' * ^
Комплексное число (60.7) удобнее представить в экспоненциальной форме
[см. (57.8)]:
х + 2ух -f со|х = (F0/m) еш,
(60.4)
х = Ав*&1.
(60.5)
Ле'Р' (- Р2 -f 2гуР -f coo) = (F0/m) еш.
(60.6)
А = Л0е,(р,
(60.8)
(60.8а)
т /K-cd2)2 + 4y2cd2 ' 2у(о ?y(o
1
(60.86)
372
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
Амплитудная резонансная кривая
При небольшом затухании резонансная частота Фрез близка к собственной (Оо
I
Резонанс наступает тогда, когда в системе возникают условия для наиболее
эффективной передачи энергии от источника внешней силы к колеблющейся
системе.
Что такое переходный режим и чем определяется его продолжительность! Чему
равна частота вынужденных колебаний при гармоническом внешнем
воздействии!
Какие особенности амплитудной резонансной кривой Вы можете указать!
Какое свойство резонансной кривой характеризует добротность!
Следовательно, решение (60.5) в комплексной форме имеет вид
* = Л0е*((r)' + Ф), (60.9)
а его действительная часть, являющаяся решением уравнения (60.3), равна
х = А0 cos (сot -f- ф), (60.10)
где А0 и ф даются формулами (60.8а) и (60.86), а со - частота внешней
силы.
Таким образом, под влиянием внешней гармонической силы осциллятор
совершает вынужденные гармонические колебания с частотой этой силы. Фаза
и амплитуда этих колебаний определяются как свойствами силы, так и
характеристиками осциллятора. Рассмотрим изменение фазы и амплитуды
вынужденных колебаний.
Амплитудная резонансная кривая. Кривая, описывающая зависимость амплитуды
вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы, называется
амплитудной резонансной кривой. Ее аналитическое выражение дается
формулой (60.8а), а графическое изображение приведено на рис. 145.
Максимального значения амплитуда достигает при частоте внешней силы,
близкой к частоте собственных колебаний осциллятора (со со0). Колебания с
максимальной амплитудой называются резонансными, а само явление
"раскачки" колебаний до максимальной амплитуды при со со0 называется
резонансом. Частота со0 в этом случае называется резонансной. При
отклонении частоты внешней силы от резонансной амплитуда резко
уменьшается.
Рассмотрим физическую картину явления в различных областях частот.
Наибольший интерес представляют колебания при малом трении. Поэтому будем
предполагать, что у со0.
С л у ч а й 1: со со0. Из формулы
(60.8а) получаем для амплитуды следующее выражение:
А о стат . (60.11)
60. Вынужденные колебания. Резонанс
373
Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень малой
частоте внешней силы она действует на систему как постоянная статическая
сила. Поэтому максимальное смещение (амплитуда) равно смещению (60.11)
под действием статической силы Fq, т. е. xmax = (F0!k) = {FJmсоц), где к
= тсоо - коэффициент упругости возвращающей силы. Из условия со со0
следует, что в уравнении движения (60.3) член х, обусловленный
ускорением, и член 2ух, означающий скорость, много меньше члена calx,
связан-ного с упругой силой, поскольку х " сох, х " -со2х. Поэтому
уравнение движения сводится к следующему:
coox = (F0/m) cos оЦ, (60.12)
решение которого имеет вид
я = {Fjiruol) cos со/. (60.12а)
Это означает, что в каждый момент смещение является таким, каким оно
должно быть, если бы сила не изменялась со временем и равнялась ее
мгновенному значению. Силы трения роли не играют.
Случай 2: со со0. Из формулы (60.8а) получаем для амплитуды следующее
выражение:
А i^o/mco2. (60.13)
Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень большой
частоте внешней силы член, обусловленный ускорением х, много больше
каждого из членов, связанного со скоростью и упругой силой, потому ЧТО I
X I Яг: I С02Х | | СО&Г I; | X | Я^ | С02х |^>
| 2ух | я" | 2усох |. Поэтому уравнение движения (60.3) принимает вид
х я^ (F0/m) cos сot, (60.14)
а решение его представляется формулой
гяа - (F0/ma>2) cos соt. (60.14а)
Таким образом, силы упругости и силы трения в сравнении с внешней силой
не играют никакой роли в колебаниях. Внешняя сила действует на осциллятор
так, как если бы никаких сил упругости и сил трения не было.
Случай 3: со я=? со0. Это есть случай резонанса. При резонансе амплитуда
имеет максимальное значение, для которого из формулы (60.8а) при условии
у со0 получаем
