Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
и изображено на рис. 142. Отклонение, скорость и ускорение представляются
совершенно одинаковыми кривыми, но сдвинутыми друг относительно друга в
направлении оси со*. Непосредственно видно, что кривая скорости вмещена
относительно кривой отклонения на величину А (со*) = я/2 влево, а кривая
ускорения точно на такую величину сдвинута относительно кривой скорости.
Поэтому говорят, что в гармоническом колебании скорость опережает по фазе
на я/2 смещение, а ускорение опережает* по фазе на я/2 скорость. Таким
образом, ускорение опережает смещение по фазе на я. Конечно, можно
сказать, например, что смещение отстает от скорости по фазе на я/2 и т.
д.
Нелинейные колебания. Если в разложении (57.1) для силы наряду с линейным
членом xf (0) существен также и следующий член, например х2/" (0)/2!, то
вместо (57.2) необходимо рассмотреть следующее уравнение движения:
md2x/dt2 = xf (0) + у Г (0). (58.15)
При обсуждении разложения силы в ряд (57.1) было отмечено, что если
система колеблется около устойчивого равновесия х = 0, то
362
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
при/' (0) = 0 обязательно должно быть, чтобы и/" (0) = 0. В противном
случае точка х = 0 не может быть точкой устойчивого равновесия. Очевидно,
если /' (0) Ф 0, то должно быть /' (0) <0 и, кроме того, производная /"
(0) не обязана быть равной нулю и может иметь любой знак. Именно этот
случай и рассматривается в (58.15). Кроме того, предполагается, что
величина /" (0) очень малая и поэтому последний член справа в (58.15)
является малым в сравнении с другими членами. Разделим уравнение (58.15)
на т и перепишем его следующим образом:
хфы1х= е<0о?а> (58.16)
где аналогично (57.3) приняты обозначения:
г _ /" (0) _ ПО) ^8 16*1
"о- т • 2 лив* 2/' (0)' (58.1Ьа)
Величина е является параметром малости члена, пропорционального квадрату
смещения. Как это непосредственно видно в (58.16), она имеет размерность,
обратную длине, и поэтому может быть представлена в виде е = HL, где L -
большая длина. Теперь можно более ясно определить смысл малости величины
е: если смещения х достаточно малы и удовлетворяют соотношению х L = 1/е,
то член в правой части (58.16) можно рассматривать как малый. В данном
случае этот член называется возмущением, а метод, с помощью которого
находится приближенное решение уравнения, - методом, или теорией
возмущений. Рассмотрим на примере уравнения (58.16) сущность этой теории
и основные особенности нелинейных колебаний.
При е = 0, т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает
гармонические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание
имеет вид
х0 (t) = Aq sin (oQt. (58.17)
Это колебание называется невозмущенным движением. Для рассматриваемой
правой части (58.16) в качестве возмущения необходимо, чтобы амплитуда А0
не была слитком большой. Она должна удовлетворять условию гАа 1. В
противном случае нельзя применять теорию возмущений. Решение при наличии
возмущения, т. е. при е Ф 0, можно представить в виде
х - Л0 sin (о0г-f-Xj (?), (58.18)
где хг (t) есть поправка к невозмущенному движению. При е -> 0 величина
хх (t) также должна стремиться к нулю. Поэтому х1 (t) является малой
величиной в сравнении с отклонениями при невозмущенном движении, т. е.
имеет место соотношение | хх ) А0. Под-
58. Собственные колебания
363
ставляя выражение (58.18) для х в уравнение (58.16), получаем следующее
уравнение для хг (t):
Второе и третье слагаемые в скобках в правой части много меньше первого
слагаемого в силу неравенства | ху |<^Л0. Поэтому ими можно пренебречь в
сравнении с первым слагаемым и записать уравнение (58.19) в виде
где использована формула sin2 со0t - (1/2) (1 - cos 2a>0t). Решение этого
уравнения будем искать в форме
где ах и by - постоянные. Подставляя (58.21) в (58.20), находим
Поскольку это равенство должно быть справедливым для всех моментов
времени, коэффициенты при cos 2co0f в правой и левой частях его должны
быть равны друг другу. Из этого условия получаем:
При этом значении by члены, зависящие от времени, в (58.22) сокращаются.
Оставшиеся члены дадут уравнение, из которого найдем, что
Следовательно, решение (58.18) с учетом первой поправки может быть
записано в виде
Наиболее существенной особенностью этого решения является присутствие
члена с cos 2a>0t. Он показывает, что благодаря наличию в силе
нелинейного члена, пропорционального х2, в колебаниях появился член с
удвоенной частотой 2<о0, называемый второй гармоникой. При отсутствии
нелинейного члена в колебаниях имеется лишь член с основной частотой со0.
Если продолжить решение уравнения (58.16) и найти следующие более малые
поправки, то можно убедиться, что они содержат более высокие частоты
лгсо0, кратные основной, иначе говоря, содержат высшие гармоники. Поэтому
можно сказать,
хг -j- и&Ху = ?"о С^о sin2 oyQt + 2А0Ху sin щс + ^i)-
(58.19)
Ху 4- СOj^i = А\ (1 - cos 2со0?),
(58.20)
х\ - ai 4- bycos 2<о0*"
(58.21)
соо% + Ьг (-4о)ц 4- о)о) cos 2щ1 = -- А\ - А\ cos 2a)0t.
