Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
координатами (я, у). Складываются комплексные числа по правилу
параллелограмма. Поэтому для сокращения можно говорить о комплексных
числах как о векторах, если речь идет об их сложении.
Умножение комплексных чисел лучше производить в комплексном виде:
z = ztz2 = р1р2е* + "*>,
zi = Piei0Cl, z2 = p2eioc*.
(57.9)
График
функции
гармонической
Таким образом, при перемножении комплексных чисел модули перемножаются,
9
а фазы складываются.
1
Здесь мы не будем более подробно останавливаться на изложении этих чисто
математических вопросов. Для более полного ознакомления с ними можно
обратиться к любому курсу по 2 алгебре комплексных чисел.
Вместо действительной формы записи гармонических колебаний (57.6) можно
воспользоваться комплексной формой:
x = Aei((0t + <f) (57.10)
135.
Графическое представление комплексных чисел и дей-X ствий над ними
Почему при равновесии системы в точке х=0, если //(0)=0, то должно быть
/"(0)=0! Если в предыдущем случае /'(0|=^0, то может ли быть /"{0J=#0l
354
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
136.
Представление гармонических колебаний в комплексной форме
В чем состоит физическое содержание закона Гука!
При каких условиях анализ малых отклонений системы от положений
равновесия не удается свести к учету линейного
члена!
Чем определяются
частота, амплитуда и фаза гармонических колебаний!
Величина х в (57.10) является комплексной и не может давать реального
физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной х
вида (57.6). Однако мнимая часть этой величины может рассматриваться как
действительное гармоническое колебание (57.6), выражаемое синусом. С
другой стороны, действительная часть (57.10), равная A cos (сo/-f-+ ф),
также представляет собой вещественное гармоническое колебание. Поэтому
гармоническое колебание можно записать в форме (57.10) и производить все
необходимые расчеты и рассуждения. В окончательном результате для
перехода к физическим величинам необходимо взять действительную или
мнимую часть полученного выражения. Как это делается, будет видно на
многих примерах в последующем.
График гармонического колебания в комплексной форме (57.10) изображен на
рис. 136. Значение различных величин, входящих в формулу (57.10), видно
непосредственно на рисунке: А - амплитуда, ф - начальная фаза, со/ + ф -
фаза колебания. Комплексный вектор А вращается вокруг начала координат
против часовой стрелки с угловой частотой со = = 2я/Г, где Т - период
колебаний. Проекции вращающегося вектора А на горизонтальную и
вертикальную оси являются действительными физическими колебаниями,
которые нас интересуют.
Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. Пусть даны два
гармонических колебания с одинаковой частотой, но с различными начальными
фазами и амплитудами:
хг = Ак cos (со/ + фх), х2 = А2 cos (со/ -f- Фг)-
Требуется найти суммарное колебание х = хх -f- х2. Гармонические
колебания
(57.11), будучи представленными в виде
(57.10), составляют ее действительную часть. Поэтому искомый результат
сло-
(57.11)
57. Гармонические колебания
355
137.
Сложение гармонических колебаний, представленных
AjCOSfj AjCOS'fj 2+A]COS? ; в комплексной форме
женин колебаний (57.11) является действительной частью комплексного
числа:
х - хх -\-х2 - Лхе' + ф|) -{- Л2е{ w + v*) =
= еш (Л^ + А#'**). (57.12)
Сложение двух величин в скобках легко производится в векторной форме
(рис. 137). На рис. 137 непосредственно видно, что
Аув^> 4 Л2е'<Р' = Ле'4 (57.13)
А2 = А\ + А\ 4 2АуА2 cos (ф2 - cpj, (57.13а)
(57.136)
Ay sin фу + Аг sin фг (r) ^ Ах cos ф! 4 Аг cos ф2 '
Следовательно, вместо (57.12) получим
х - Ху 4^2 = Ле1'+ (р), (57.14)
гдеЛ и ф определяются формулами (57.13а) и (57.136). Отсюда следует, что
сумма гармонических колебаний (57.11) дается формулой
х - Ху 4- хг = A cos (сot 4 ф),
где величины Л и ф имеют то же значение, что и в (57.14)
Свойства суммы гармонических колебаний можно выяснить непосредственно по
рис. 137. Ясно, что вся картина, изображенная на рис. 137, благодаря
наличию общего множителя еш в (57.12) вращается вокруг начала координат
по
I
Реальное физическое колебание описывается либо действительной,
либо мнимой частью колебания, представленного в номпленсной форме.
Удобство использования представления колебания в комплексной форме
обусловливается легкостью и наглядностью операций над комплексными
числами.
356
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
a>2~v>i
<38.
Сложение гармонических колебаний с почти равными частотами в ком-
плексном виде
2
3
?
На чем основано представление гармонических колебаний в комплексной
форме!
Как определить фазу и модуль комплексного числа!
Каково соотношение между сложением комплексных чисел и правилом сложения
векторов!
Что происходит с фазами и модулями комплексных чисел при их перемножении!
Что такое биения! Являются ли биения гармоническими колебаниями!
часовой стрелке с угловой скоростью ш. Амплитуда колебания достигает
максимального значения при <р2 = <рх и равна А1 -f Л2. Минимальное
