Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
где г0 - радиус шара, р, - динамическая вязкость, или просто вязкость,
значения которой для каждой жидкости известны. Вязкость характеризует
силы жидкого трения между слоями жидкости, скользящими друг относительно
друга. Формула Стокса имеет многочисленные применения. Если задана сила и
измерена предельная скорость, то можно определить радиус шара. Если же
известен радиус, то, измерив предельную скорость, находят силу.
Приближение к предельной скорости. Движение тела в одномерном
пространстве при наличии сил жидкого трения описывается уравнением
т (dv/dt) = /о - kv.
(55.2)
Силу /0 считаем постоянной. Пусть v = 0 в момент t = 0. Интегрируя
(55.2), получаем решение этого уравнения:
{_______= А С л.
Jl ~(k/f0)v " J '
(k/fo)!
(55.3)
или после потенцирования v(t) = J±( i_e-wm>").
(55.4)
127.
Приближение скорости к предельному значению при наличии жидкого трения
График этой функции изображен на рис. 127. Скорость v (<) увеличивается
от 0 при t - 0 до предельного значения упр = f0lk по экспоненциальному
закону. Экспонента очень резко зависит от своего показателя. Практически,
после того как показатель экспоненты достиг значения - 1, она очень
быстро обращается в нуль. Поэтому можно считать, что скорость достигает
предельного значения в течение времени т, за которое показатель
экспоненты в формуле (55.4) становится равным -1, т. е. это значение
может быть найдено из условия (кх/т) = 1,
55. Движение при наличии жидкого трения
341
откуда т = mlk. В вязких жидкостях тела с небольшой плотностью могут
достигать критических скоростей очень быстро. В случае шарообразного тела
по формуле Стокса имеем к - 6лрг0. Так как объем шара равен 4лг&/3, то
время достижения предельной скорости будет равно
где р0 - плотность тела. Для глицерина р, л; 14 г/(см-с). Поэтому
стальной шарик с плотностью р0 л; 8 г/см3 и радиусом г0 - 1 см достигает
критической скорости в течение т л 0,13 с. Если же r0 = 1 мм, то время
уменьшается в 100 раз. В минеральном масле, у которого вязкость почти в
15 раз меньше, эти величины увеличиваются примерно в 15 раз. Таким
образом, большой стальной шарик (r0 = 1 см) движется в масле с заметным
ускорением примерно в течение 2 с. Шарик же с миллиметровым радиусом
достигает предельной скорости почти за 0,02 с.
Падение тел в воздухе. При движении тел в воздухе с достаточно большими
скоростями наряду с силами вязкого трения возникают силы
аэродинамического происхождения, природа которых подробно рассматривается
в курсе механики сплошных тел. Здесь заметим лишь, что сила сопротивления
воздуха движению тел оказывается пропорциональной квадрату скорости. При
свободном падении тела в воздухе в случае равенства силы тяжести тела
силе сопротивления достигается предельная скорость. В качестве примера
рассмотрим падение парашютиста от момента выбрасывания с аэростата до
момента открытия парашюта (речь идет именно о выбрасывании с покоящегося
в воздухе аэростата, а не с быстролетящего самолета). Как показывает
опыт, предельная скорость падения человека в воздухе примерно 50 м/с. Это
значение 1>пр и будем принимать в дальнейшем, хотя оно в некоторых
пределах зависит от роста и массы парашютиста, ориентировки его тела
относительно направления движения, от атмосферных условий и т. д.
Направим ось X по вертикали, вверх, а начало координат х = 0 поместим на
уровне Земли. Поскольку сила сопротивления воздуха при тех скоростях, с
которыми мы в рассматриваемом случае имеем дело, пропорциональна квадрату
скорости, уравнение движения можно записать в виде
mv = тх =-mg-\-xv2, (55.5)
где х - коэффициент трения (х > 0). Считая известной предельную скорость
упр, выразим через нее х. Для равномерного движения с предельной
скоростью имеем:
тх = 0 = - mg -J- хУцр, х = mg/v'u р.
342
Глава 12. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
С учетом этого выражения для х уравнение (55.5) перепишем в виде
?=-4 <*-'>•
Отсюда, интегрируя, получаем:
й' пр пр о
, Ь'пр-Ъ у g ,
In----------------------- =---------------------г- t.
2vnp vnp - v *>np
Потенцируя это выражение, находим 1-ехр (-2gt/vnp)
V- vnp i_|_exp (-2gt/vnP)' ( ¦ )
Для начального периода падения, когда 2gtlvap 1, можно разложить
экспоненты в ряд и ограничиться линейным по t членом:
exp (-2gt/vnp) ^ 1 - 2gt/vnp. (55.7)
В этом случае из формулы (55.6) имеем
o= - gt.
Это означает, что в начальной стадии практически происходит свободное
падение, а сила сопротивления воздуха не играет существенной роли.
При дальнейшем увеличении скорости роль силы сопротивления воздуха
возрастает и становится определяющей при скоростях, близких к предельным.
В этом случае имеем (2gtlvnp) 1 и можем пренебречь экспонентой в
знаменателе формулы (55.6). Тогда она примет вид
(^пр - v)/vap = exp (-2gt/vnp). (55.8)
Таким образом, при i = 10 с скорость отличается от предельной примерно на
е~4"=*1/50, т. е. на 1 м/с. Поэтому можно считать, что парашютист
достигает предельной скорости примерно через 10 с после начала падения.
