Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействующих между собой электронов с перекрывающимися волновыми
функциями не может быть ферромагнитной. Эта теорема в несколько урезанном
виде (ограничен тип взаимодействия) может быть доказана и для N
электронов в трехмерном случае (как мы увидим в следующем разделе).
Прежде чем сформулировать теорему и приступить к ее доказательству, имеет
смысл сказать несколько слов о ее значении. Эта теорема занимает особое
место, она играет роль часового нашего сознания, когда мы размышляем о
природе ферромагнетизма. Любое фундаментальное объяснение или теория,
которые предположительно привели бы к ферромагнетизму в одномерном
9 Эпиграф к этому разделу взят автором из фантастического романа
английского писателя Аббота "Флэтленд" (Flatland - Плоская страна): Лайн-
ленд (Lineland - Одномерная страна) - часть страны Флэтленд (как линия -
часть плоскости), а лайнлендеры - жители страны Лайнленд.- Прим. ред.
150
4. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
случае, ipso facto должны быть неверными! И именно поэтому мы говорили о
моменте количества движения в теории атома и происхождении правил Хунда,
ибо они тесно связаны с трехмерностью пространства и на основании данной
теоремы необходимы для понимания явления. Имея в виду эти соображения, мы
приступим к изложению теоремы.
Теорема. Основное состояние одномерной системы взаимодействующих
электронов в любом подпространстве с определенным М является
невырожденным и соответствует 5п0лн = \ М |. Из этого следует, что Е0 (S)
<; Е0 (S + 1), что ток в основном состоянии при любом М равен нулю и,
следовательно, одномерная система электронов не может обладать
ферромагнетизмом.
Доказательство. Все, что мы показали для системы невзаимодействующих
частиц в предыдущем разделе, может быть применено к настоящему случаю
взаимодействующих электронов, для которых гамильтониан имеет вид
N
+ .....*.v)- (98)
3 = 1 3
Потенциал V включает все внешние силы как периодические, так и
непериодические, а также взаимодействие между электронами, которое может
быть произвольным. Единственное ограничение заключается в следующем: не
допускаются силы, зависящие от скорости и от спина, а также нелокальные
потенциалы, и потенциал V по причинам, которые станут ясными несколько
позже, должен быть интегрируемым. Мы примем стандартные граничные
условия: если длина б!лока периодичности (размеры Лайнленда) равна D, то
граничные условия будут таковы: волновая функция равна нулю всякий раз,
когда координата хп = ±l/2D. Допустимые собственные функции Паули суть
"?в(1, 2, N), (99)
где для компактности аргументы га = 1,2 ... соответствуют паре координат
- пространственной и спиновой (хп, ?(1). Сначала мы запишем уравнение
Шредингера
Seu4la = E(S)u4?a, (100)
заметив, что энергия не может зависеть от М. (Поскольку SB коммутирует с
операторами спина, можно применить операторы рождения и уничтожения спина
к обеим сторонам уравнения Шредингера, изменив М, без воздействия на
собственное значение энергии.)
ТЕОРЕМА ОБ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЕ ЭЛЕКТРОНОВ
151
Как обычно, мы теперь исключим спины и рассмотрим пространственные
функции Mfs, которые сами удовлетворяют уравнению Шредингера (100) с тем
же собственным значением Е (S). Если нужно, все они путем применения
операторов рождения или уничтожения спина могут быть переведены в
подпространство М = 0, и, следовательно, мы начинаем с исследования этого
частного подпространства, в котором, безусловно, найдется собственная
функция основного состояния. Рассмотрим произвольную собственную функцию
с неизвестным ^полн
Естественные границы R оказываются там, где неравенства просто
нарушаются, например
и т. д. Следует заметить, что °/ на этих границах тождественно обращается
в нуль. Полное конфигурационное пространство состоит из переменных xt, .
. ., xN, упорядоченных любым образом; однако если °/ известна в области
R, она известна повсюду, поскольку остальные области можно найти
тривиальными перестановками оР в двух наборах координат. (Вспомним
определение тривиальных перестановок, данное на стр. 123.) Например, если
то мы получим °/ в Л' с помощью тривиальной перестановки
С помощью такого самоочевидного способа мы можем найти функцию повсюду.
Конечно, при использованном выше условии необходимо, чтобы °/ была
антисимметричной при тривиальных перестановках сР. Нетривиальные
перестановки, как видно, не
*V (*^1' ¦ ¦ ¦ 1 ¦ ¦ ¦ i З'Лг)
в области R, определенной следующим образом:
( 1 г, " " ^ 1 ^
(101)
(102)
(104)
{х[, ...) есть точка из R', а ?Р есть перестановка, которая связывает R с
R',
&R = R',
(105)
(106)
(107)
152
4. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
нужны, чтобы покрыть с помощью R все пространство; таким образом, онп
играют свою обычную роль рождения и уничтожения М.
Теперь мы сформулируем и докажем лемму, которая теснейшим образом
примыкает к теореме: обращающаяся на границах R в нуль собственная
функция оператора , которая принадлежит наинизшему собственному значению
