Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
10. Condon E. U.. S h о г t 1 e у G., The Theory of Atomic Spectra, New
York, 1935 (см. перевод: Ко и дон Е., Шортлв Г., Теория атомных спектров,
ИЛ, 1949).
11. Griffith J. S., The Theory of Transition-Metal Ions, New York. 1961.
12. M a 11 i s D., L i e b E., Journ. of Math. Phys., November
(1966).
L) Образование магнитных моментов в атомах твердых тел, рассматриваемое
как особый четко объяснимый случай квантовомеханической задачи трех
частиц, описано в работе Маттиса и Либа [12].
Часть II
СТАТИКА И ДИНАМИКА
МАГНЕТИЗМА
5
ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА
Представим себе, что в каждом узле решетки Браве имеются
взаимодействующие друг с другом и с внешним магнитным полем спины,
которые мы будем рассматривать как классические векторы фиксированной
длины. Энергия такой спиновой системы определяется равенством
Е= - 2 VijSi-Sj - gMI-S S;, (1)
i, j i
где
(Недопустим, что взаимодействие между спинами S; и S, носит обменный
характер. (Магнитостатическое диполь-дипольное взаимодействие имеет
несколько отличную угловую зависимость, о которой говорится в гл. 6.)
Уравнения движения для спина, т. е. уравнения момента вращения, имеют вид
ftS; = S; X (gfiBH + 2 VijSj). (2)
i
Подстановкой в равенство (1) проверяется, что Е есть постоянная движения.
Другая постоянная движения находится суммированием всех уравнений (2)
*2Si = (SSj)x*ML (3)
i i
Поскольку 2 S; равно полному спиновому моменту, то последнее
•i
уравнение имеет следующий смысл. В однородном поле величина полного спина
сохраняется, хотя относительно направления поля он прецессирует. В
отсутствие внешнего поля сохраняется не
только величина, но и направление полного спина.
Так как других постоянных движения нет вообще, то невозможно получить
выражение для произвольного движения в замкнутом виде. Это следует
признать главной трудпостыо классической механики, и она, по-видимому,
непреодолима. Но в данном случае можно воспользоваться трансляционной
инвариантностью, чтобы найти определенные частные решения. Это мы сделаем
сначала, затем мы просто линеаризуем уравнения движения, и в этом
приближении можно найти общее решение в виде суперпозиции нормальных мод
спиновых волн.
11 Д. Маттис
162
5. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ,
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
Представим себе, что все спины, первоначально параллельные друг другу и
ориентированные вдоль внешнего поля, приводятся в прецессионное движение
с постоянной поперечной амплитудой Т (?иг. 5.1):
Si = (Тcos/г, Tsinft, (4)
где функции /; = / (t, Rf) должны быть определены, а магнитное поле
направлено по оси z: Н = (О, О, II). Сначала следует проверить, что
компоненты z действительно постоянные, как это
27--1
'/Sz-Tz
Фиг. 5.1. Спиновая волна с волновым вектором к.
Каждый спин вращается вокруг своей оси г и описывает поверхность конуса
за время I = 2л./ш (к), !де и (к) даетсн выражением (Я). Радиус конуса
равен амплитуде спиновой волны Т. Частота и (к) есть функция Т. Уюл го =
ha измеряет разность фаз между ближайшими соседями (ц-расстояние между
ними).
принято в уравнении (4). Согласно уравнению движения,
Si = Т2 (cos/; 2 Vij sin fi - sin /; 2 Vij COS fj) =
ЧЛ i ; (5)
= T2 2 Vij sm (fj - fi)-
Чтобы величина tiS* тождественно обращалась в нуль, выражение под знаком
суммы должно обладать трансляционной инвариантностью [вспомним, что Vij =
v (| R; - R; I)], т. e.
f j fi = F (t, Pi;).
Но самого по себе этого недостаточно, чтобы гарантировать равенство S' =
0. Если мы проверим уравнения для двух других компонент, допуская, что S;
задано уравнением (4), то возникает циклическая задача, которая очевидным
образом имеет решение, если положить
fi =at - k-R;, (6)
и в этом случае правая сторона (5), как и следует, обращается в нуль.
ДВЕ ПОДРЕШЕТКИ, НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
163
Теперь мы напишем уравнения для поперечных компонент не только для
проверки высказанного предположения, но и для определения разрешенных
значений к и частоты со (к). Несколько легче объединить два уравнения и
обсудить компоненты циркулярного движения St = S* ± iS{'.
Если мы используем сначала уравнение (6), то найдем
*5? = ft (5f ± iS'() =
= ± iSf (giLBff + S vtj V&^T2) =F (i VS^ - T2 S vuSt). (7)
i i
Однако хорошо известно, что решение этой системы уравнений дается
выражениями (4) и (6). Если они удовлетворяют периодическим граничным
условиям, то для компонент волнового вектора получим
7 а*л I 2л 1 2л , /о\
hx'-~т и7 пz ~ 7 (8)
Ly L,z
как обычно, п, т, I - цельте числа, и, следовательно, решение, которое мы
до сих пор постулировали, правильно. Для круговой частоты непосредственно
находим
т(к)=4-[№вЯ + /5^Г""2 ¦ (9)
з
Интересно отметить ясно выявляющиеся на этом примере два обстоятельства
(хотя они хорошо известны из других приближенных решений):
1) По мере возрастания амплитуды движения (Т) частота уменьшается, т. е.
эффективная упругая постоянная "пружины" становится слабее.
2) В нулевом магнитном поле частота есть квадратичная функция к для малых
