Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
о - iVHAt
^Ч>(->)<Ь" (5.3)
l\JT3-t - Vi-t 0
Доказательство. Если решение имеет диаграмму рис. 5.2,д, то оно при 'Лмх
^ ^-\ATci-fc- является функцией только аргумента^.
Отсюда вытекает левая часть равенства (5.3). Но тогда из уравнения ?.1 )
следует,что при этих значениях ^ решение является линейной функцией -t .
Достаточность условия (5.3) устанавливается путем непосредственного
построения решения с диаграммой рис. 5.2,д.
Теорема 5.2. Для существования при Р о решения задачи
(1.1),(4-.7),(3.7) с диаграммой рис. 5.2,г необходимо и достаточно
выполнения условий
\ЯТа Uo (^)- 4 О , ^ > о, (5.д)
О
wc&t (5.5)
-. - ('ДГа -Vba'A
- р-p. t^0(-!•
v^vCV ~VV-(X J
о
Доказательство. Пусть решение задачи (I.I),(4.7),(3.7) при 4:^0 имеет
диаграмму рис. 5.2,г . Тогда это решение определяется формулами:
1А(1р)= PaU+v/^)+
(ACx,Jc)= ^дСх + 'ПГцА)-* <}*(х.-\ГицА^ x*--\Tua-l,
U(x)-t') - С х + vTua.'t') х с|ь( x-\/v*a-fc^ ~\/ТГаД ^ ^ .
Рис. 5.1
Рис. 5.3
Рис. 5.2
- 79 -
Функции ^ <^4, непосредственно находятся из начальных
функций и"(х) ч/"(хУ Условие склейки решения на прямой -v/vTa -t дает
.Из того,что прямая x^vA^a.'t
является полусигнотоном, следует, что
\м+а - \Tf-c. 1 х \Avcl t у/Гa 7 Требование монотонного убывания по х
решения при ?
р хб -\[ых.± эквивалентно неравенству <^(^)= ^IC^) ~ О при ^ > о .
Условие склейки решения на прямой x = vf4ra.,l приводит к равенству
(5.5).
Теорема 5.3. Для существования, при -t t о решения задачи
(1.1),(4.7),(3.7) с диаграммой рис. 5.2,в необходимо и достаточно
выпрлнения условий:
\A + ft_ ио о при ^ ¦> о,
+Vo(p +\ДТ^ > ° (5'б)
при любых у ^ , таких, что \^ | и \ *|| достаточно малые и ^ >0, ft <0 .
Доказательство теоремы 5.3 аналогично доказательству теоремы 5.2.
Теорема 5Л. Если при -t & о существует два решения задачи
(1.1),(ft-.7),(3.7) с диаграммами рис. 5.2,в,г, то эти решения совпадают
и диаграмма решения имеет вид, изображенный на рис. 5.2,д.
Доказательство. Перепишем (5.5) в виде;
VP7С "Uo (а-VTti^W v0U\^a-t)-v\RTaU" (-(^a-\/Fa.)W
t Ь# r J
- vD (~ (v/ua-vT^cOt) = o.
Из равенства (5.7) находим, что
(-0s) WoC-o4)U^(i-o)-V0(+o) ^ O. (5.8)
Из равенства (5.6) следует, что
v/T^a uU-o>+Vt(-o>+\/rTcL'Uo (45)-V0(y) %>,о. (5.9)
Соотношения (5Л),(5.8),(5.9) показывают, что |
O. C5.I0J
Из равенств (5.7),(5.10) имеем;
\ГГа- k;(^-vV0( р= 1*°. (5.И).
Равенства (5.10),(5.II) эквивалентны равенству (5.5). I
Теорема 5.5. Для существования при достаточно малом -t , 1 4 & о) решения
задачи (1.1),(4.7),(3.7) с диаграммой рис. I 5.2,6 необходимо, чтобы
§
^H"(^o)-Vj.(+o) <= о, C5.I2)J
I
- a.(*o(-o)\fi=a +v0'(-oV)>, (гС(+о)>А^-у0'М, !
(5.13) j
'Jh (-o') x V0 (-о) +\ЛТо. -ц^, (+o) - Ve( + = о , |
и достаточно, чтобы во втором неравенстве в (5.12) и в (5.13) имели место
строгие неравенства. "
Доказательство.Пусть при -t^o существует решение задачи
(1.1),(4.7),(3.7) с диаграммой рис. 5.2,6. Тогда это решение допускает
представление:
= ^,(г +'ЛОх-Ь) + -И >
¦0.0,4)= x-vn/^cL^) + (^(х-^/Г^аЛ) } x<r=u-4^ 5
UCx,4)= ^,(x + \ATaA ) + (x-\fua.i) , =0.4) t x "-NfoaA,
+ c^( x-JTTa-t) ,
Из условий склейки для решения имеем = 9<i!
^(а+'Л^оЛ)* ^(A-'/wi-U = ^b(i4 N/TTa-t)+- (5*w)
- 81 -
j,]3 этих соотношений находим уравнение для определения <*(-4) •.
\Д7ц. ^ cjv' (oL- \/ьаЛ) = о. (5.15)
Функции рч, <|ч ,уч>cji, выражаются непосредственно через начальные
функции lu Cxy;v00). Решение задачи (1.1),(4.7),(3.7) должно
удовлетворять условиям монотонности
^>,о при v/wiA 4 Bc-teU-t), 4 0 при *<-4)4X4 Vna.4(5.16)
Из этих неравенств следует, что
ЪЧ
>/ О ^ х
<- >
+• о
rvu
? О
х"- \/Т+чА - о
(5.17)
Неравенства (5.17) эквивалентны неравенствам (5.12). Из уравнения (5.15)
найдем сi'io') :
^'(о) (-o)^i wj (~о))
Ко (.+ °)'ЯТ^-Vo' (Ко) +i(o ('-o)\/Va +V0' (-о)
Неравенство (5.13) следует из неравенств (5.12) и того, что - '/wx t *4
о) 4 \Д- . Перейдем теперь к доказательству
второй части теоремы 5.5. Заметим, что строгие неравенства в
(5.12), (5.13) приводят к тому, что -\А^ ^ <*'(о) х чДГчз. .
Для завершения доказательства теоремы остается проверить выполнение
условий монотонности (5.16). Рассмотрим первое условие в (5.16) :
при 'Лта *(4).
Из первого равенства в (5.14) находим •
где - обратная функция к ^ - <х<4г) -VЧ - cl -t .Очевидно,
что -убывающая функция в окрестности точки ^ = о (3 >о)"
Таким образом, имеем:
1I-I
- 82 -
ft (x + NfiFaA) -+ (j.JJx-VFa.-t'p ( х + '/РоЛ) ~^'L (х-\[РоЛ + i
¦+ 1\Гы1 Ф(х-^4^) = |
i
- $ (GUV/TaH - Ф U-\fi=li)>^l ШШ =0 . |
Здесь (c) предполагается достаточно близким к 0. Следовательно^ первое
неравенство в (5.17) доказано. Аналогично доказывается ' второе
неравенство в (5.17).
Теорема 5.6. Для существования при -fcto решения задачи
(1.1),(4.7),(3.7) с диаграммой 5.2,е необходимо и достаточно, чт обы
\/ГГЦ Uofa)-ЧЧ^) >- О при |>о, (5.18)
причем левая часть (5.18) не является тождественным нулем;
\А-<1 +N/o(p + \A+a Но (+о) -ve (fo)>,o; *l^o,
V/nLUoM+V.C-o^yTuci ^>о. (5*2°)
