Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(4.28),(4.29).Из уравнения находим
-TIoV-FkHW - . 'ЛВчСЧоЬу.Чо! (4>5Ч
Я^(0,0) *<(0)
Так как -VTTq ^ < - \ДГ^ и хС (о) ^ о ,то
¦Uo(o)\J7Tq t ч/0* < (а.\ГГч -уДТсО^о"- (4.55)
Необходимость (4.52) доказана.Заметим, что в силу условия (4.51) и того,
что Uj' (о) х Of левая часть (4.55) является строгим нера-j! венством. Из
соотношений (4.51),(4.53), (4.54),(4.55) следует,что при малых t
существует решение ^ifc) уравнения (4.28),(4.29), удовлетворяющее
условиям для фронта сильного сигнотона. Далее, из неравенств
(4.51),(4.53) следует выполнение условий (4.10),
(4.II),(4.13). Поэтому диаграмма решения является одной из диаграмм рис.
4.9. Диаграмма 4.9,г ко реализуется в силу леммы 4.2(случай б). Диаграмма
4.9,в также не реализуется, поскольку ^словно (4.51) в да;,.:Ом случае
противоречит неравенству
56 -
57 -
йспользуя (4.54), находим:
,1 <
к!! М "У"(о)) ( 5 vfcq ц о (о) у Vo (о)) -
а. (ц " fr j)a
У"=' с зуДТаи^о^ч;^)*-
(4.39).В теореме 4.8 будет доказано, что необходимым условием
существования решения с диаграммой рис. 4.9,6 является неравенство Volo)>
C!L'A-<l-\Ai + a )Ц" (o'). Таким образом, если в указанных предположениях
существует решение задачи (I.I),(4.?),i
(3.7), то оно может иметь лишь диаграмму 4.7, а . Для доказатель ства
существования решения задачи остается проверить, что фу:
дия U,Jx)-k') (см. (4.27) Удовлетворяет условию "б'и*Адх. ^ о пр*| /,
t , ,
4vli)4 х<; хЛГТЦ-Ь . в силу леммы 2.1 это условие будет 1 * +ч*+4
V, (о)),
выполняться, если имеют место неравенства j откуда следует,
что
-*¦' " | р;'(о)(уДТщ-\1Х=л) - <\Цо)(\!ТГа -+\fFa) =
( ?|
^>1 = о;(1у|Т^^\ДГаЯ)^9'(-(\Д^-\/РаЯ)бО. I1 .
((Uo(o)\/r^^(e))(3^^(oVvJ(o))
(4.58)
T>x
%
Из уравнений (4.15) и того, что в данном случае р((о) -о,|
ZSZ ЯЯЖЪГ"* т~ "*эд "Т
рГ(о)(\Тиа- V^a)^;(o)(NATa+^a) * о, ра.' (°) (\Д+а -v 'Arft) - ^ (о)
('JTTcl - \A'ra ) z о.
Учитывая, что
<¦ ?; (*(" - та t))
(4
.l/.A <
H ^ (ivra .щ))' j)=^ KtpvR чср),
ifes (•".С'5)чгг5 ^v.(J)) , *
Положим V^(o)-(x'FTci-SfUb ^ Ti" (o) •*¦ "S . Из (4.58) следует, что ^ <-
о . Подставляя в (4.58) выражение для Vc'(o),
находим
')- ^1(о)(\ДТа ) = (4.59)
= 1 и^Къ'Кч+ВЧГп)* (11:м|('ГмГ^ч)8Ум)
Так как ^40 ; иЦ (о) <; о , то из (4.59) следует выполнение первого
неравенства в (4.57). Второе неравенство в (4.57) Устанавливается
элементарно. если с|!((о)>о , то, так как Pi (о )<0, норавепства (4.57)
очевидны. Если ^ (°Н 0;
то "
Pi(о')(\ZT+a -t vTPa ) - (o')(\Л4д -\РГ-а ) ^
8-1
56 -
с
^ (o)(\f(+Q -'JTra ) - <j*(o)(vA-+g ¦+ v/T^a ) < о
Теорема 4.7 доказана. |
Замечание 4.5. Условие (4.51) в теореме 4.7 обеспечивает вы-i полнение
условия (4.10). Покажем, что если выполнено неравенст]
\[Г^а ul' (о) - Vj (о) ^ о ;
(4.60)
которое противоположно (4.51), го (4.10) не может иметь место
Действительно, без ограничения общности можно считать, что 1
v0{o)-0 .в силу предположений теоремы 4.7 и"(х)- дважд непрерывно
дифференцируемая функция, ui(o)-o ,. v0(x) непрерывно дифференцируемая
функция. Положим в (4.10) "X= о . Тогда это неравенство имеет вид: vfi"1a
Чо Cju^i -v0 (Jk) >-о при ju ? о . Эю неравенство противоречит (4.60).
Теорема 4.8. Пусть в некоторой окрестности точки х=о (эО > о при х < о ,
и"(х)^о при х. > о ; выполне
ны условия (4.10),(4.31) я
VT+q (o') + (o') < О • (4.6?
Для того, чтобы существовало решение задачи (I.I),(4.77,(3.7) с
диаграммой рис. 4.9,6 необходимо выполнение неравенства 5
(\ДТа-\ЛРа)(1(^о)^М W^o^&v/T^fXfo)^ -v/ы). (4.62)
Для существования в некоторой окрестности точки х.до(-1 = о решения
задачи (I.I),(4.7),(3.7) с диаграммой рис. 4.9,6 достаточно, чтобы
выполнялось неравенство
(yffTl-v/R'Ku^y/rfe +-v{(o)) > ддДГд (кV(o)v/Pq -V>)\ (4.633
Если выполняются предположения теоремы 4,8 и условие достаточно' сти
(4.63), то решение задачи (I.I),(4.7),(3.7) единственно в классе
функций,имеющих диаграммы рис. 4.9,6.
Доказательство. Покажем сначала, что из (4.61) и того, что ¦UoCtOcO при
х>о вытекают неравенства (4.II), (4.13). Неравенство (4.13) при малых ^
является непосредственным
- 59 -
следствием (4.61). Если ЧДо)<о или VjL'(o')<О , то неравен-с1В0 (4.II)
очевидно. Пусть иДо)-о , м^Со)- о . Тогда из
(4.61) находим, что и^(о)^о и неравенство (4.13) выполняется.
Наконец, если v^' (о)>о, ц.* (о> < о , то (4.13) следует из соотношений
+ чЩ)) + -VA( a u" (o)(v + оС$*) = ('^и*ЧоЬ'/*(<Л)1 + оед 4
4(\/7m ui(o) + v;io))5-vo(>5x) < О ;
Пусть искомое решение имеет диаграмму рис. 4.9,6. Тогда эс*л(А)-- фронт
слабого сигнотона,удовлетворяет уравнению (2.16 \ из которого находим
До) ~Ц"^ ~ v<V°0 (4.64)
uo+у4'(о) + \дгц ";• (о) - д (о)
Из этого же уравнения (2.16),в силу теоремы о неявной функции, следует
единственность решения с диаграммой рис. 4.9,6. Так как -\/ГоГ <= 4\TFq
, тб из (4.6) следует, что знаме-
натель дроби (4.64) в ноль обращаться не может. Более того, из
неравенства - \/T^ra~ ^ <^'(о)4 'Г<- а и (4.61) следует,что выполняется
неравенство (4.62). Необходимость неравенства (4.62) доказана. Перейдем к
