Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
'* " \ITTci - VTTq.
^0гда из неравенства (5.35) будет следовать, что в (5.33) такие
выполняется строгое неравенство, которое равносильно строгому неравенству
в (5.27). Подставляя в (5.34) и исполь-
зуя (5.35), убеждаемся, , что в (5.34) имеет место строгое неравенство.
Это означает, что строгое неравенство выполняется и в (5.26). Теорема
доказана.
Из полученных результатов следует, что любая диаграмма рис. 4.9 может
служить продолжением любой диаграммы рис. 5.2 . Прит-чем, если Ч'0 ( + о)
г. о) wJO-o)>0 , то совокупностью диаграмм рис. 4.9, рис. 5.2
исчерпываются все возможные процессы столкновения ударных волн. Кроме
того, для любой диаграммы рис. 4.9 можно подобрать такие начальные
функции, что решение не допускает продолжения на отрицательные значения -
4 . Остановимся еще на начальных функциях других типов. Пусть K,-e(k)
такова, что KJ (тс.) с о при т-<- о , х.) > о при х> о
, UoC х.) -
- непрерывная функция, определенная в некоторой окрестности точки х =о .
Этот случай сводится к предыдущему, если ввести обозначения X. и С
тс, 4) - - Tt ( x/t ) •
Пусть теперь начальная функция и"Сх) такова,что 1д),(ж)>о при х ж. о , uj
( х.) > о при х > о . Относительно начальных функций Uofх>у Vo(x') будем
предполагать, что выполнено условие(5.1 ) и
(^VR-VoOso-v^-) "о (5-36)
для любых достаточно малых •
Условия (5.1) ,(5.36) означают, что решение задачи (I.I),
(4.7),(3.7) при 4 & о непосредственно находится из начальных
условий в областях , x^-v/T^i . эти условия
выполняются, например, если t(i(Vo)>o, )>о . При выпол-
нении уоловий(5.1),(5.3в) решение может иметь лишь одну диаграмму рис.
5.3.
- 86 -
I
Теорема 5.9. Пуоть u,|(x)>o при х> о и ui(x)>o при хсо и выполняются
условия (5.13),(5,36). Для оущеотвованиж при it о решения задачи
(1,1),(4.7),(3.7) необходимо и достаточно, чтобы
v;^)+v. (рг\/ГГ5 и^)>,о (5.3?) (
для jf, ^ доотаточно близких к нулю, % > о . Боли уело- I
вие (5.37) выполнено, то решение единственно и имеет диаграмму рис. 5.3 .
Доказательство теоремы очевидно. Диаграмма рис.5.3 ооответ- ) \ ствует
столкновению двух простых ударных волн (растяжения). Воз-ножные
результаты этого столкновения приведены в диаграмме рис.
4.12.
Пусть теперь Hj(x)4.o при и Х/J (х.) * о при
х> о ,причем выполняется условие (5.2) ж
+V*Q")'V*(?0 <5-38>
при любых ^ , близких к нулю , .В этом случае решение задачи
(1.1),(4.7),(3.7) при -tto может иметь 17 :
различных типов поведения. Их диаграммы приведены на рис.5.4.
Продолжениями этих диаграмм при t>^0 являются диаграммы, изображенные на
рио. 4.13.'
Замечание 5.4. В1 этом параграфе мы для простоты ограничились случаем,
когда нет слабых сигнотонов, движущихся со скоростью, большей v/THl .
В заключение этого параграфа вернемоя к рассмотрению примера 3,3 § 3. В
нрм рассматривалась задача Коши для уравнения
(I.I) с начальными уоловиями:
l).u0[x) - - х. 'j i.).K.(x).-l-c|;v,(x.)"*<jn:t .
Из замечания 5.2 следует, что во втором случае решение непро-должимо для
4:40. Укажем продолжения решения для it о в первом случае;
Рис. 5.4
-90- I
"л (*4} = x+ 4 ,
' I'fTa
n(I... (x^tH i
' (n/TTq.-^Я^с1Х "•-" v/T^)
+ Q Сх-\ЛГо.4 ) } -\f\4i-U ; |
u(x,4)=
' .- a.VT+3 W<7a-k)(^/<Ta. -'/<ra) 7 I
- Б7Щ- ^*~та4) , -tUxt-Vua4; I
ц С r(4) = -С X+--4) , - \ДТД-4 s- x }
где Cj и к- произвольные числа, удовлетворяющие неравенствам
n v7T"q--f -. .
A\/R AVTa > ^ 6'<4\/T4cl.
Например,при q - - ( ч- '/T^cL) / JLXn^Q., И " -< это решение имеет вид
,• и('-*,4) = - (¦*+4 ( . При Q =-('Я+"-0/А^4гЯ.
это решение имеет вид;
и (1,4) - х"- 4 j х. ± \Л>о.4
,ч A+VTa-i/T+o.. 'ЛТа + \/(Га___ __________
UCr> ) = AVT^ Х + а ; та4^х1-'Я^4/
та-и^та-<н , -та4^*<-та-4,
и (г, 4) = ¦- ( t + 4 ) } - \/Т*Ъ. 4 6 х. .
Указанные решения,разумеется, не охватывают воех возможных решений в
первом случае. Заметим, что, поскольку указанные продолжения для 4г ? о
представляют собой ломаные линии, то результат о неоднозначности
продолжения решений для 4 ь О справедлив и для уравнения (1.3).
- 91 -
§ Пример неединственности решения задачи (I.I).(4-.7).(5.7).
В § 4 содержатся теоремы существования и единственности решения задачи
(I.I),(4.7),(3.7), t о . Доказательства этих теорем основаны на ряде
предположений относительно начальных данных. Однако общий вопрос о
существовании и единственности решения задачи (I.I),(4.7J,C3.7), -I>/<э ,
в классе непрерывных функций, первые производные которых являются
гладкими функциями вне конечного числа гладких кривых и которые
суммируемы на гладких кривых трансверсальных к линиям разрыва первых
производных, остался открытым. В этом параграфе будут построены два
решения задачи (I.I),(4.7),(3.7), i>^o, с одними и теми же начальными
условиями, принадлежащие указанному классу функций. В этих примерах
функции имеют вид:
?
( 1Дх| , Xto
ил*) - |М1
/ М I х| , X О
причем И J (х) > о при х^о , и, Сх^ при х>о . Оба решения рассматриваемой
задачи будут однородными функциями степени 5" . Решения построены в
