Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.
Скачать (прямая ссылка):
предположении,что а достаточно близко к I. Первое решение будет иметь
диаграмму 4.9, а , второе-- 4.II,a . Отыскание решений задачи
(I.I),(4.7),(3.7), iv о, в классе однородных функций позволяет свести эту
задачу к исследованию алгебраических соотношений (равенств и неравенств).
Посмотрим сначала решение с диаграммой рис. 4.9, а . Эго решение
представимо в виде;
uCx/t) = U^Cr,-4)^^Cx^Vjrat)+^b(x-\/Fa.-ir) ,
К Ixl
x to
Tlx|M , *>°
- 92 - '
где x^oU-4') - фронт сильного сигнотона, - v/TTci. < <*'(АО *-I/Fa.
Функции Ui(x,-t) , г*ъ(*,Л') определяются непосредственно
через начальные функции. Пусть начальные функции таковы, что
fb(!> = -"i}i!r) ,1^0.
Условия МОНОТОННОСТИ 'dUil'bx б о , '^'Uj/'йа: wo будут выполнены, если
коэффициенты удовлетворяют неравенст-
вам
А > О , В> о, с > с-Ъ > о .
Эти условия являются достаточными. Условие А > О будет по-
пользовано при построении второго решения,так как из него следует, что
р;( (%)>о . В силу однородности уравнения (I.I) вместо чисел введем
числа
Л - 2. ц - А .. 6
* " с ) / ~ с ) v " с *
Тем самым предполагается выполнение неравенств
V<0. (6.1)
Фронт сильного сигнотона будем искать в виде <U-fc) = d.i .
Из первого уравнения системы (А.15), учитывая, что находим уравнение для
А\ДТо. jx (oL+'ЯТо.')^- C^A+a+v/T^a.)^^-^)^-
->(\Л^Q-\ZRXy/Tci-d./. (6.2)
С 4 У
Функцию будем искать в виде ~ Q I Ц .Второе
уравнение в (А.15) позволяет определить Q . Условие монотонно-
сти 'b'Uj./'эхвытекает из условия склейки на фронте x=okt, неравенства
Эи*(TT+a. -t ,-t) ЛЬX- бои леммы 2.1. Неравенство '"ЗИд. (\П+0. t,+) /Эх
6 о будет выполнено, еслиЯбО.
Из второго уравнения в (4.15)/гак как Gj б о , находим:
^ /-"А-у/Г-о. \5 (6.3)
\l<-t-a+\Arci V-j>+\/<Tq /
Итак, для существования решения задачи (I.I),(4.7),(3.7)^-t >, о,
- 93 -
с диаграммой 4.9"а достаточно, чтобы выполнялись соотношения
(6.1)"(6"2),(6.3). Перейдем теперь к построению решения задачи
(1.1),(^*'7)"(3.7), tx-o с диаграммой рис. II, а.. В этом случае решение
допускает следующее представление:
u(x,4)=u,(x,i)=|N(x+\/ua-b)+ <|<(т-\ТГГа4:)) x>.Vrra-t, ч(*Л)~ил^хЛ)с
+ } Х4 \ATai.
ub(x,-t)= ^ъ(х + ^йЬ)ч-с^(х-\/ТГа-^;
U(t,-^)~ xti(-1),
где x-3K.-t> , фронты сильных сигнотонов типа локаль-
ного макоимума и локального минимума,соответственно:
-\/Т+а х. ; '/а-о. х |s'(t) <VTnt.
Из начальных условий находим
uiy-wv*
Из определения полусигнотона следует, что
^((<A7iWFa)±) t ^((v/ua-\TToLH)-o#
откуда находим функцию
УТГд-УГд / \Д+олл/ы \
\ 'JTTd-'^a ^ /
''словие склейки и на прямой позволяет найти
Функцию I
Условие монотонности 'й'Цх fax. >? о равносильно неравенству
I2-I
V'
Так как
. \/7Та +\Яга / ,-. , ,
x+\JVa.i >, -==-ргг (-л-v/T^a-t)
"ЛТа -\Л7а '
ю условие монотонности/?>х. v о будет следовать из неравенства рх о " что
обеспечивается положительностью коэффициента А. Последнее подлежащее
проверке условие монотонности 'S'l^/'йх 6 о следует из условия склейки на
фронтах х- 5L (А) , t: р(.-П и из леммы 2.1. Будем искать фронты сильных
сигно-тонов в виде К-Ог ^ i-fc) = ^ •-t , а функции {4^5)
в виде _ J , 1,(р--9Ц1г.
Система (*М!Г ) на фронте х=ЗСЛ имеет вид"
1ШP(l+\RTaf- да WwOCC-SL-tfR)* да-\^арда -а ft эда Q(vfhQ-a) -(\/Т+о--
\/н)С(-А'\Гм>) -(\!ШWR^vn^a-j) t
а на фронте эта система приводит к равенствам
ЖР(}^а)Г. Y^-Чгф
у Г t \[i+4-+]/Vci\* _ / > VuUWT^" I
l V \Д+а-v/T^a) \л + \ПГа; v/Tui-y/RlJ J '
_ * * (AVba)1 {¦+'Л-л Г _ / Р'^-а ^+5+\Л-5 \т
" ш V\^+\/^J L \гхъ-т)1'
Исключая из этих равенств Р, Cj> , получаем равенства
- 95 -
^ + ДЦ.) ju lxn/T^O. )vfab)*
(-i-v/i-a. 'Л+ь¦*^~i.- f /^
ч-"л-"\ЛРй, \Г^-^^) [\1Т^ -\1щ) ~ Сб.4)
(Nft^WPgV1 (Т-#ч уПГд^Сй \г '
V\fua~\fR; \|-hF3. v/T*a.-\/i-a i
(fi*Li)\ ('Rb-zfi'tt (\Д7й+та)г ^
/-JLfi (6,5)
* \ТТГй-\/Г1Д^Га-^)-^
< _ flzEi .iEL^ELY \}*ДЧ ' \jTTI-\fi7aJ
Итак, окончательно,для существования двух решений задачи (I.I),
(4.7),(3.7), \>уО при одних и тех же начальных условиях достаточно, чтобы
можно было указать числа <<,Z, ^ удовлетворяющие равенствам
(6.2),(6*4),(б.5), неравенству (б.З) и еще неравенствам
-\Д+а^01г.-\)1^^\П^а^р^й:а^^1>о ч>о.
Поскольку < > (| ~\Дгй)(\/Т+Ъ \\Я^)Др+'/Г1.ХЛ^-'/:Гй.)
при \/Ра_с'й/-\/7+а и jU>o ,го из (6.5) следует, что У -с А . Зададим
числа 5., р , удовлетворяющие соответствующим ограничениям^ найдем из
(6.4),(б.5) числа **;JU . Пусть оказалось,что ju>0 . Следовательно, ^ i
.Число определяется из уравнения (6.2). Для завершения построения примера
остается проверить, что (c)С удовлетворяет указанным выше (6.3)
ограничениям и выполняется неравенство (б.З) . Рассмотрим вопрос о
разрешимости уравнения (6.2).Положим
-oL-V<-<i. VT+i+v/T-fl. V S'
" x (6*6)
12-2
- 96 -
и перепишем уравнение (6.2) в виде
, " / -ч
/ Q-O-t А _ I VKtW?i\ - . (6.7)
Ш-sJTb ' Ккчи-'РГ*.) у
Если. Oi'Xi I , JU > о , поскольку левая часть уравнения
(6.7) является убывающей функцией, а правая часть - возрастающей
функцией, то уравнение (6.7) всегда имеет единственное решение т * ,
