Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
6.3. Ошибки теорий в случае учета солнечных возмущений. Проверка точности построенной теории движения вблизи L2 при учете солнечных возмущений была осуществлена следующим
Ах,Ду,Дг,нм dx,iy,Az,/a
Рис. 46. Ошибки аналитической теории при учете солнечных возмущений.
образом [40]: вее необходимые для расчета координатные переходы § 3 осуществлялись ра основании реального движения Луны (которое задавалось табличным способом, причем нужные таблицы получались из численного интегрирования задачи четырех тел Земля — Луна — Солнце — КА), а нормализующие преобра-
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ КА
297
зования § 5 осуществлялись на основе эллиптического движения Луны, причем для элементов орбиты Луны принимались их оску-лирующие значения на начальный момент времени to- Таким образом, влияние Солнца на относительное движение не учитывалось.
Расчеты проводились для тех же начальных данных, что и в предыдущем параграфе. Зависимости Ах, А у, Az от времени представлены на рис. 46 для б = 0,005; 0,01; 0,02; 0. Сравнение рис. 45, з и 46, з показывает, что недостаточно полный учет солнечных возмущений приводит к более быстрому нарастанию ошибки. Резкое нарастание ошибки в рассматриваемом варианте
6 = 0 происходит примерно на двенадцатые сутки (а не на двадцатые сутки, как в эллиптической задаче).
Из сравнения результатов приближенного решения эллиптической задачи трех тел и задачи четырех тел при различных б следует, что при б 0,01 основные ошибки обусловлены недостаточно полным учетом солнечных возмущений. При б 0,01 определяющими становятся нелинейные члены, неучтенные в приближенной методике. В конце семисуточного интервала времени ошибка составляет 3,5, 30, 60 и 300 км для 6 = 0; 0,005; 0,01; 0,02 соответственно.
Для оценки зависимости методической ошибки от начального положения Луны и Солнца была проведена дополнительная серия расчетов с б = 0,01. Оказалось, что ошибка слабо зависит от этих параметров и в конце семисуточного интервала для всех вариантов изменяется в пределах 50—80 км.
Заметим, что для рассматриваемой методики очень существенно использование в расчетных формулах параметров реального (а не эллиптического) движения Луны. Попытка аппроксимировать движение Луны на семисуточном интервале времени формулами задачи двух тел приводит к ошибкам определения геоцентрических координат порядка 1000—2000 км.
ДОПОЛНЕНИЕ
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
§ 1. Уравнения движения
Кроме точек либрации задачи трех тел, в небесной механике известны еще точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида. Их существование было установлено Ю. В, Батраковым в работе [6]. Эти точки либрации представляют собой частные решения дифференциальных уравнений движения материальной точки в окрестности вращающегося с постоянной угловой скоростью трехосного гравитирующего эллипсоида. Во вращающейся, связанной с эллипсоидом, системе координат эти частные решения представляют собой положения равновесия. Таких равновесных положений материальной точки всего четыре. Они расположены на продолжениях большой и малой осей экваториального сечения эллипсоида симметрично относительно его центра масс.
В статье [1] В. К. Абалакин исследовал устойчивость упомянутых точек либрации в линейном приближении и установил, что две точки либрации, расположенные на продолжении большой полуоси экваториального сечения эллипсоида, неустойчивы по Ляпунову (выполнены достаточные условия неустойчивости), а две другие точки, расположенные на продолжении малой полуоси, устойчивы в первом приближении (выполнены необходимые условия устойчивости).
Дальнейшее исследование устойчивости точек либрации, расположенных на продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида, проведено в работах С. Г. Журавлева [25, 184, 185]. Использовав недавние результаты теории гамильтоновых систем, изложенные в главах 4 и 5 настоящей книги, С. Г. Журавлев получил строгие выводы об устойчивости этих точек либрации.
Ниже кратко излагаются результаты упомянутых работ Ю. В. Батракова, В. К. Абалакина и С. Г. Журавлева, посвященных точкам либрации в окрестности вращающегося эллипсоида. Сначала получим уравнения движения. Пусть материальная точка движется в поле тяготения вращающегося с постоянной угловой скоростью со трехосного гравитирующего эллипсоида массы М. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz, связанную с эллипсоидом. Начало этой системы координат поместим в центр
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
299
масс О эллипсоида; оси Ох, Оу и Oz совпадают с главными центральными осями инерции эллипсоида, и направление угловой скорости вращения последнего совпадает с направлением оси Oz (рис. 47).
Дифференциальные уравнения движения материальной точки во вращающейся системе координат Oxyz можно (см. [24]) записать в виде
dlx
~1W
2(0
ЛгУ І пґл
~dW + 2ы
(P-z
dfi
dy
dt
dx
dt
orx
dV dx ' a 9V
— !L
~~ dz ’
(1.1)
где V — потенциал притяжения эллипсоида.
Пусть эллипсоид представляет собой однородное гравитирующее тело, поверхность которого можно записать в виде уравнения
