Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
В обзорной статье Депри и Хенрарда [123] обсуждаются результаты исследований периодических орбит плоской круговой ограниченной задачи трех тел, которые были получены после 1966 года. Результаты более раннего периода описаны в монографии Себехея [175].
Все вышеупомянутые работы посвящены исследованию периодических движений в рамках плоской круговой ограниченной задачи и не был рассмотрен вопрос об устойчивости периодических движений в строгой нелинейной постановке.
В настоящей главе рассматривается задача о построении и устойчивости малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел в плоском и пространственном случаях. Задача об устойчивости решается в строгой нелинейной постановке. При изложении результатов мы следуем работам [68, 69].
§ 2. Три типа периодичесгшх движений
Существование периодических движений, близких треугольным точкам либрации ограниченной круговой задачи трех тел доказывается при помощи теоремы А. М. Ляпунова о голоморфном интеграле [22, 49].
Теорема (А. М. Ляпунов). Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
(2.1)
П
ТРИ ТИПА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИИ
207
где Ъ — положительная постоянная, аік — постоянные вещественные коэффициенты, а X, Y и Xj — голоморфные функции величин х, у, Xj, разложения которых не содержат членов ниже второго порядка малости и обладают постоянными вещественными коэффициентами. Пусть выполнены следующие два условия:
а) Уравнение
D (а) = | ajlc — a6Jk I = 0, (2.2)
где 8Jk — символ Кронекера, не имеет корней вида i%N, где і — мнимая единица, а N — целое число.
б) Система (2.1) имеет не зависящий от времени голоморфный интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит переменные х и у.
Тогда уравнения (2.1) имеют периодическое решение, представимое рядами вида
х = e,kx^k\ у = 2 е,кУ(к), %j =2 е,кх{к), (2.3)
К=1 Jt=l
где є — достаточно малая произвольная постоянная, а все х№ у™, х'Р — периодические функции времени с общим периодом т, являющимся голоморфной функцией є. Функции х<к\ у(к\ х^ представляются конечными рядами косинусов и синусов целых кратностей величины 0, определяемой формулами
0 = , т =-------|ї---- , (2.4)
J[=2
причем все gk — вполне определенные постоянные, a t0 — вторая произвольная постоянная.
Величина е называются орбитальным параметром или «амплитудой» периодического движения (2.3).
В дальнейшем рассматривается движение вблизи L4, однако все выводы верны и для Ьь. Гамильтониан движения в окрестности треугольной точки либрации L4 определяется формулой (3.1) главы 7, в которой надо положить е = 0. Мы будем исследовать периодические движения для значений параметра ц, лежащих в области 0 < ц < ц* = 0,0385208 устойчивости точек либрации в линейном приближении. Уравнения движения тела бесконечно малой массы вблизи L4 при 0 ¦< ц. ¦< [А* всегда можно записать в виде (2.1). Введем далее обозначения
= —(02! ^3 = 11 (2.5)
где о»! и о>2 — корни уравнения (4.3) из седьмой главы (0 < (о2 < < V2/2 < о)! < 1).
208
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
Для решения вопроса о существовании периодический движений, близких к Li, применяем теорему Ляпунова о голоморфном интеграле, за который в рассматриваемой задаче можно принять функцию Гамильтона Н.
Рассмотрим сначала плоскую задачу. В этом случае характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет две пары чисто мнимых корней + ш±, ±ш2. Чтобы сделать заключения о существовании периодических движений, надо проверить только выполнимость условия а) теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле, т. е. требования отсутствия резонансных соотношений вида
К = Nlh (2.6)
где N — произвольное целое число, a Хг принимают значения
или Х2 (і ф I).
Будем называть периодические движения, соответствующие частоте соц периодическими движениями I типа. Их период х ~ 2п/(х)1. Обычно их называют короткопериодическими движениями. Периодические движения, соответствующие о)2, будем называть периодическими движениями II типа. Их период т2 ~ 2п/а2 (долгопериодические движения).
Для периодических движений I типа (I = 1, і = 2) соотношение (2.6) принимает вид ш2 = -/Vffij. Это равенство не выполнено ни при каких целых N, так как 0 < ш2 < J/2/2 < coj < 1. Таким образом, из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле получаем, что периодические движения I типа существуют при всех ц. из рассматриваемого интервала 0 < ц. < ц.*.
Для периодических движений II типа (I = 2, і = 1) соотношение (2.6) можно переписать так: (Oj = N(x)2¦ С учетом уравнения
(4.6) главы 7 это соотношение принимает вид [22 , 83]
27ц(1-ц) = т^ТГ2 (N = 1,2,3,...). (2.7)
Тогда получаем, что периодические движения II типа существуют при всех ц, из интервала 0 < ц. < ц.*, кроме, быть может, значений ц., удовлетворяющих равенству (2.7).
Теперь рассмотрим пространственную задачу. При всех ц, из интервала 0 < [А < ц* по-прежнему будут существовать периодические движения I типа, а при ц., не удовлетворяющем равенству (2.7), и периодические движения II типа. Из-за того, что пространственные переменные q3, р3 входят в гамильтониан Н четным образом, периодические движения I и II типов и в пространственной постановке задачи остаются в плоскости вращения основных притягивающих масс. Но в пространственной задаче существуют еще периодические движения III типа, период которых тэ ~ 2я/Я3 = == 2я.