Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
209
При решении вопроса об устойчивости периодических движений I—III типов следует рассматривать пять различных задач:
1а) задача об устойчивости периодических движений I типа в плоском случае;
16) задача об устойчивости периодических движений I типа в пространственном случае;
2а) задача об устойчивости периодических движений II типа в плоском случае;
26) задача об устойчивости периодических движений II типа в пространственном случае;
3) задача об устойчивости периодических движений III типа, существующих только в пространственном случае.
Задачи 1а) и 16) существенно различны. В задаче 1а) изучаемая механическая система имеет две, а в задаче 16) — три степени свободы. Аналогичная ситуация и с задачами 2а) и 26).
Каждое из рассматриваемых периодических движений зависит от двух параметров: отношения масс основных тел ц и «амплитуды» є (в задаче об устойчивости зависимость периодического движения от начального момента времени t0 несущественна).
§ 3. Схема исследования устойчивости
Ясно, что по отношению к возмущениям координат и импульсов, соответствующих периодическим движениям, эти движения будут неустойчивы по Ляпунову, так как их период зависит от начальных условий (величина є в выражении для периода (2.4) зависит от начальных условий). Однако представляет интерес задача об орбитальной устойчивости.
При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмущенного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам.
210
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
В нашей задаче схематически конструктивное применение локального метода можно представить в виде последовательности следующих операций:
1) получение исследуемого периодического движения в переменных действие — угол;
2) введение в окрестности периодического движения локальных координат и получение функции Гамильтона возмущенного движения;
3) переход к новой независимой переменной «угол», линейная нормализация и получение выводов об устойчивости в линейном приближении;
4) возвращение к старой независимой переменной и проведение нелинейной нормализации функции Гамильтона;
5) на основании свойств коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона получение выводов об орбитальной устойчивости периодического движения.
§ 4. Орбиты первого приближения
Если в функции Гамильтона (3.1) главы 7, описывающей движение вблизи 1/4, сделать (при е = 0) замену переменных по фор-
мулам (4.2) главы 7, а затем по формулам
Чі = —.= ?*, Р] = УЩР* (/ = 1,2), (4.1)
то она примет такой вид:
Н* =Ht + Н*3 + + + ..., (4.2)
где
я*=4-?,Ы?Г+рГ),
к=1 (4.3)
Я*= 2 кх^тгдГ'дГдГ‘рГрГрГ'
(т > 3).
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона Н2 имеет вид
qt = a* cos ( | кк | v + (V), pt = (—l)k а* sin (| А* | v + pk) (4.4)
(к = 1, 2, 3),
где ак, Р/с — произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.
Если начальные условия таковы, что все ак при к Ф I равны нулю, то уравнения (4.4) будут описывать первое приближение периодического движения I, II или III типа (I — номер типа пе-
§ 41
ОРБИТЫ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
211
риодичебкого движения, равный соответственно 1, 2, 3). Периодические движения III типа в первом приближении представляют собой линейные колебания (с частотой, равной единице) в направлении, перпендикулярном плоскости вращения основных тел. Рассмотрим подробнее периодические движения I и II типов. В координатах <7*, Р)((см. главу 7) эти движения можно записать в виде
В системе координат L4<71<Z2<73 уравнения (4.5) представляют собой записанные в параметрическом виде уравнения эллипсов с
центром в L4. Большие полуоси эллипсов наклонены к оси Liq1 под углом у, определяемым соотношением
и при 0 < ц <; ц* равным приблизительно 30°. Эксцентриситеты эллипсов вычисляются по формулам
и одинаковы для всех начальных условий. Графические зависимости эксцентриситетов эллипсов ег от параметра ц приведены на рис. 22. Из рис. 22, в частности, видно, что при всех ц эксцент-
qi = -щ- (4соі + 9) cos (cd,v + ft),
= — (! — 2Ц)cos + Рг) + 2(0; sin (cd,v + ft)|, (4.5)
q3 = 0 (I = 1, 2), z, = (2Xf - 1) (4X? + 9).
Рис. 22. Зависимость эксцентриситетов орбит первого приближения ег и ег °т отношения масс ОСНОВНЫХ тел (Д.
