Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 23. Ляпуновские орбиты первого приближения вблизи точки ?4 в системе Земля — Луна.
tg 2y = (1 — 2ц)
212
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
риситет короткопериодических орбит меньше эксцентриситета долгопериодических орбит. На рис. 23 схематически представлены эллиптические короткопериодические (т1=2л/со1) и долгопериодические (т2 = 2л/о>2) орбиты первого приближения для соотношения масс системы Земля — Луна ([і = 0,0121507 . . ., ег = 0,87 . . ., е2 = 0,98 . . .).
§ 5. Построение периодических движений
Для построения периодических движений нелинейной задачи воспользуемся методом канонических преобразований, но в виде, несколько отличном от преобразований работ [116, 117].
Представим формы Нт из (4.2) в таком виде:
т
я * = 2 !# * (5Л>
5=0
где Hs, m-s означает совокупность членов степени s по переменным (координата и импульс q*, р*) с номером 1(1 — номер типа периодического движения) и степени т — s по остальным переменным. Сделаем теперь такое каноническое преобразование:
Як, Рк -*¦ Як, Рк (& = 1) 2, 3), (5.2)
чтобы во всех формах новой функции Гамильтона Н нормализо-
вать члены Нт,о и уничтожить члены Нт-1Л. Такое преобразование будет сходящимся [28, 72].
Преобразование (5.2), как и вообще все дальнейшие нелинейные нормализующие канонические преобразования этой главы, проводилось методом Депри — Хори. Этот метод использовался в модификации Мерсмана [156].
Рассмотрим подробнее преобразование (5.2). Производящую функцию Т этого преобразования, зависящую только от новых переменных, представим в виде
Т = Т3 + . . . + Тт + . . . (5.3)
Тогда операторное уравнение для определения коэффициентов про-
изводящей функции и новой функции Гамильтона имеет вид
D0Tm = й*а - нт (т = 3, . . .), (5 4)
где оператор D0 определяется следующим образом:
дН* дг дН* дТ
D.T. - - ^
Тс—1
(5.5)
В (5.4) функции йт выражаются через функции
т* гг*
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
213
Операторное уравнение для определения коэффициентов производящей функции и новой функции Гамильтона будет иметь вид (5.4) независимо от алгоритма нормализации, будь то классический алгоритм Биркгофа, алгоритм Депри.— Хори или какой-нибудь другой алгоритм нелинейных канонических преобразований. С формальной точки зрения отличие между этими алгоритмами нормализации заключается только в способе вычисления функций йт через функции (5.6). При использовании алгоритма Депри — Хори в модификации Мерсмана нужные нам в дальнейшем формы йт выражаются через функции (5.6) с помощью соотношений
#3 = ЯЇ,
ЙІ = НІ + 4 D з (НІ + Яз), (5.7)
ЙІ = НІ + Яз [НІ + Я4 + D3 (НІ - Я,)] + 4 Dt(Hi + Яз). Здесь і
DJ = (/• Тп). (5.8>
Если уравнения (5.4) для всех тп уже решены и найдены соответствующие члены разложения производящей функции в ряд
(5.3), то полученное таким образом преобразование (5.2) будет иметь вид
ОО ОО
Я* = Чъ + ^ Dmqk’ Р* = рк + ? °тр1(' (5-9>
т=і т—1
где D — оператор, определяемый формулой
оо
D = 2 Dn,
п=3
а операторы\Dm определяются так:
D°f = /, Dxf = Df= (/• Т), . . ., Dm+1f = D (.Dmf), . . .
Здесь / — произвольная функция переменных рЛ.
Уравнение (5.4) для определения коэффициентов производящей функции Т преобразования (5.2) и коэффициентов новой функции Гамильтона Н в каждом порядке тп относительно координат и импульсов распадается на группы, соответствующие членам в представлении (5.1); это означает, что нормализацию этих членов можно проводить независимо друг от друга. При нормализации членов Ни в выражениях для коэффициентов производящей функции преобразования (5.2) появляются знаменатели вида
d*. і — ^г (v; Hv) + 2 (vs — М-їс)!
¦214
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
(ГЛ. 12
где
vi + Iіг = і» S (vft + И-к) = /• кфі
Пусть резонансы вида (2.6) отсутствуют, т. е. пусть выполнено требование а) теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. В этом ¦случае во всех формах Нт новой функции Гамильтона члены вида можно уничтожить полностью, потому что соответствующие этим членам знаменатели dtj в нуль не обращаются. Кроме того, так как числа (I — 1, 2, 3) не обращаются в нуль при рассматриваемых значениях параметра ц, то в случае нечетного т члены Нт,о также можно уничтожить полностью. В случае четного т эти члены можно нормализовать и представить в виде
тп т
Нт, о = ст, г 2 2 (gf -J- pf)2, (5.10)
где cm>i (т = 4, 6,. . .; I — 1, 2, 3) — величины, зависящие лишь от параметра задачи ц и являющиеся инвариантами функции Гамильтона невозмущенного периодического движения относительно канонических преобразований. Эти величины с точностью до множителя пг-21~т равны постоянным gk, фигурирующим в выражении
(2.4) для периода т рассматриваемого периодического движения.
После проведения преобразования (5.2) первые члены разложения новой функции Гамильтона
Я = Я2 + . . . + Нт + . . . (5.11)
имеют вид
3
H*=-rYih{ql+р1)' к=1
яз = Яь 2 + Я0, з,
я4 = -j- С; (д? -(- piY -(- Н%2 + низ + Я0,4,
Я5 = Я3і г + Я2> з + Я,,4 + Я0>5,
где по-прежнему в формах Я; первый индекс означает их степень по переменным с номером Z, второй индекс — степень этих форм по остальным переменным, а сг = с4>г.
