Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рг = аі (^ — Ьі®ї) + а2 (1 — b2a>t) q2 + а^рі — а2с^2.
В (4.2) введены следующие обозначения:
„. _JLi/" 4®f + 9 8 _
1 2 у , л .-г TV > ~ / ’ ci ~
I 2ш? — 1 I 4w? + 9 4<o?+9
Частоты (o; (©j o>2 !> 0) удовлетворяют уравнению
to4 — ю2 + -^-ц(1 — (i) = 0. (4.3)
Если теперь еще ввести канонические переменные rit ері по фор-
мулам
ql = sin Фі» Рі = VZr&4 cos фі, (4.4)
то гамильтониан Н2 запишется в виде
#2 = (0^ — о)2г2. (4.5)
Следует отметить, что линейное нормализующее преобразование
определяется функцией Н2 неоднозначно. В работе [106], например, преобразование, аналогичное (4.2), найдено в другой форме.
Дальнейшую (нелинейную) нормализацию можно проводить различными способами, например, при помощи классического преобразования Биркгофа или способом, разработанным в работе [112], или каким-либо другим путем.
Нормальная форма будет различной в зависимости от того, есть резонансные соотношения между О»! и 0)2 или нет. В области
(2.2) устойчивости линейной задачи условие отсутствия резонансов до четвертого порядка включительно
+ «2(02 Ф 0 (0< I пг I + I п2 j <: 4)
нарушается в двух случаях: при ^ = |дг и ^ = [і2. При ^ имеет место резонанс третьего порядка
о 2/5
со, = 2оз2 == —г-=—,
а при (д, = [і2 — резонанс четвертого порядка
0 зуто
®і — 3(о2 = —— .
128 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 7
Рассмотрим сначала нерезонансный случай, т. е. предположим, что Ц Ф Ці (і = 1. 2). Тогда нормализованная до членов четвертого порядка функция Гамильтона будет иметь такой вид:
Я = юл — о)2г2 + с2йг\ + ctffa + с02г2 + О ((гх + г2)‘/>).
Коэффициенты с1} получены Депри в статье [111]. Они имеют вид
©*(124©* — 696©J +81)
сїй '¦
144 (1 — 2©®)2 (1 — 5©2)
©!©2 (64©*©2 + 43)
сп = - V7T—гт;; Е . (4-б>
С02 :
6(1 — 2©*) (1 — 2©*) (1 — 5©2) (1 — 5©; ©® (124©* — 696ш| + 81)
144(1 — 2©|)2(1 — 5©2)
Согласно Арнольду и Мозеру (см. главу 4) при выполнении неравенства D3 = с2о®а + СцО)^ + с02о)і Ф 0 имеет место устойчивость по Ляпунову. При помощи (4.6) в статье [111] получено такое выражение для D3:
644©*©*-541©*©*+ 36
3 16(1 —4©*©*)(4 —25©J©*)
Рассматривая числитель выражения для D3 как биквадратный многочлен относительно произведения частот и используя
уравнение (4.3), легко получить [111], что D3 обращается в нуль только при одном значении fi из интервала (2.2):
ц = = 0,0109136. . . (4.8)
На рис. 6 представлены график функций с20, сп, с02 и D3 в зависимости ОТ fl.
Таким образом, применив в рассматриваемой задаче результаты Арнольда и Мозера по теории гамильтоновых систем, Депри показали [111], что треугольные точки либрации устойчивы при всех fi из области (2.2), кроме, быть может, трех значений fij (і = = 1, 2, 3), при которых неприменима теорема Арнольда—Мозера.
Рассмотрим устойчивость при этих трех исключительных значениях параметра fi. При fi = ц,х (о^ = 2ю2) нормализованная до членов третьего порядка функций Гамильтона имеет вид [56, 63]
Я = щГі — ©а г 2 + а хг2 ]/>! sin (фі + 2ф2) +
+ ricos (фі + 2фг) + О ((гг + г2)2), (4.9)
где = 1,322.. = 0,298. . . Так как а\ + $\ф 0, то,
согласно § 2 главы 4, имеет место неустойчивость.
§ 4J
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
12)
При fix = fi2 (tOj = Зю2) нормализованная функция Гамильтона такова:
Н = (ол — (о2г2 + c2</i + + с02г\ + а2г2Уггг2 sin (фг +
+ Зф2) + Р2г2У r\r2 cos (ф! + Зф2) + О ((г1 + г2)*/.), (4.10)
где coj = 0,948 ..., (о2 = 0,316..., с20 = 0,137..., си = —2,176 . . ., с02 = 0,246. . ., а2 = —1,461. . р2 = —4,235... Имеем
I сго + Зеп + 9с02 | - 4,170 . . ., З/ З (а\ + р|) = 23,282...
Так как ЗV 3 (а\~\- р2) | с20 + 3сп + 9с02 | , то, согласно § 3
главы 4, имеет место неустойчивость.
сга > с„ II II
40 - 1 «-
4 1 - !\/! -
1 го - і! м'
3 - і і і і
1 п 1 о-
1 и Рк
г ’ \ ! 1
1 -го - ¦ ! j -20-
г J - !
о 1 1 -на - ! 1 ~40-1 1
Рис. 6. Коэффициенты нормализованного гамильтониана плоской задачи и условие устойчивости J5S^=0,
Теперь рассмотрим устойчивость при [і = fi3. Это нерезонансный случай. Для решения задачи об устойчивости здесь необходимо произвести нормализацию гамильтониана до членов выше четвертого порядка, так как члены до четвертого порядка включительно вопроса об устойчивости не решают. Здесь надо применить теорему об устойчивости, приведенную в § 5 гл. 4.
Оказалось [56], что для решения вопроса об устойчивости при ц = fi3 достаточно учесть в гамильтониане члены не выше шестого порядка. При этом в нормализованной до членов шестого порядка включительно функции Гамильтона коэффициенты имеют такие числовые значения (нормализация проводилась на ЭВМ):
©j = 0,959. . . , «і = 0,281. . . , с20 = 0,097...,
, с02 = 0,398. . . , с30 — —0,219. . . ,
еп = -1,389.
с21 = 7,794. . . , с12 = —209,931. . . , с03 = -14,528. .
5 А. П. Маркеев
130
УСТОЙЧИВОСТЬ в ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 7
Для этих значений коэффициентов выполняются неравенства
ф 0)2, ©! ф 2о)2, ©1 ф Зо)2, ®1 Ф ©1 Ф 5о)2, 2©! Ф 3©2»
Сзо©2 + с210)г0)1 + с12©2©ї + c03o)i = —66,631. . . Ф 0.
Поэтому при (X = (J-з имеет место устойчивость.
