Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Если же число (k, X,) будет целым, то система уравнений (4.11) в общем случае решения не имеет и, следовательно, соответствующие одночлены в функции F3 уничтожить нельзя.
Проведя аналогичные построения, можно упростить члены четвертой, пятой и т. д. степеней в производящей функции отображения. В нормальной форме отображения Т производящая функция будет содержать угловые переменные в виде таких комбинаций (к, 0), для которых (k, X,) — целое число. Если нормализация проведена до членов конечного порядка, то нормализующее преобразование rit фг -*-рь 0г будет аналитическим относительно Ур г
§ 5. Получение функции Гамильтона по отображению
В предыдущем параграфе показано, как по функции Гамильтона построить точечное отображение. В этом параграфе кратко рассмотрим обратную задачу, как по отображению Т построить соответствующую функцию Гамильтона динамической системы. Очевидно, что обратная задача не имеет однозначного решения.
Производящая функция отображения связана с функцией Гамильтона посредством системы дифференциальных уравнений
(3.6). Пусть отображение Т и функция Гамильтона Н в их линейной части по Г; имеют нормальную форму. Покажем, как найти Hz (<рг, гг, t), если известна функции S3 (<рг, г®, 2л).
Возьмем в функции S3 два одночлена вида
r°a[cm sin (k, q>) + em cos (к, q>)],J
116 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ (ГЛ. 6
где ст и ет — константы. Соответствующие одничлены в функции На будем искать в виде
— r“[am (t) sin (к, ф) + Ът (t) cos (k, ф)]. (5.1)
Функции am (t) и Ът (t) ищем 2я-периодическими по t. Согласно
(3.9) и(3.10), они должны удовлетворять следующим соотношениям:
ст = / (2я) cos 2я (k, X) + g (2я) sin 2я (к, X),
ет = — / (2я) sin 2я (к, X) -J- g (2я) cos 2я (к, I),
где
/(2я) = ^ [am (t) cos (кД) t — Ът (t) sin (к Д) t\ dt,
т (5.3)
g (2я) = ^ [ат (t) sin (к, l)t + bm (t) cos (к, X) і] dt.
О
Функции ат (t) и bm (t) определяются из (5.2) и (5.3) неоднозначно. Если (k, X) не будет целым числом, то их можно считать не зависящими от t. Из (5.2) и (5.3) в этом случае для них получаем выражения
ат = ¦ ¦1[ст ctg я (к, 1) — ет],
Ът = (к’2Х) [Ст + ет ctg я (к, Я,)].
Соответствующие одночлены (5.1) в Н3 будут в этом случае такими:
ь г“ 2ЖІеЬ7{Ст sin [л (к’ф) +11 (к’*)] +
+ ет cos [я (к, ф) + я (к, Я,)]}.
Если же число (к, X) будет целым, то функции ат (t) и Ът (t) постоянными получить нельзя. Пусть (k, X) = N. Тогда прибавление к функциям ат (t) и Ът (t) гармоник вида sin pi и cos pi (р ф + N) не нарушает равенств (5.3). Будем поэтому искать
функции ат (t) и Ът (t) в таком виде, когда они не содержат гармо-
ник sin pt, cos pt для p Ф + N. Положим
о-т (t) = «і sin Nt + W cos Nt, bm (t) = a2 sin Nt + b2 cos Nt.
Для чисел ai, bt из (5.2) и (5.3) получаем соотношения
я (Ьх — а2) = ст, я (аг -f- b2) = ет.
Здесь опять проявляется неоднозначность определения ат (t) и bm (t). Используем эту неоднозначность для того, чтобы получить искомые одночлены в Н3 в нормальной форме, т. е. чтобы она содержала синусы и косинусы только с аргументами вида
устойчивость неподвижных точек
117
к, q>) — Nt. В этом случае следует, очевидно, положить
т ет l Ст
аг = 02 — ~2^~> а2 — — — 2я •
Входящие в Я3 одночлены будут иметь вид
— (cmsin [(к, ф) — Nt] + ет cos [(к, ф) — М]}г® (5.4)
После того как функция Н3 найдена, можно из уравнений (3.6) найти Sa (фь г°, t). Потом можно найти Нх, S4, Нь и т. д.
Проведенные рассмотрения приводят к следующему, основанному на применении точечных отображений способу нормализации 2я-периодических по t гамильтоновых систем. Решив уравнения
(3.6), находим производящую функцию S точечного отображения Т. Затем вводим новые координаты, в которых функция S имеет нормальную форму. Последний шаг — получение по нормализованной производящей функции нормальной формы функции Гамильтона.
Основные преимущества предлагаемого способа нормализа ции функции Гамильтона перед классическим способом Биркгофа, по-видимому, следующие:
1) Отпадает необходимость находить периодические решения систем дифференциальных уравнений, определяющих производящую функцию преобразования Биркгофа. Это приводит, в частности, к значительному уменьшению необходимых вычислений.
2) Исследование неавтономной нелинейной системы дифференциальных уравнений сводится к исследованию алгебраических свойств производящей функции отображения.
§ 6. Об устойчивости неподвижных точек отображения
в случае резонанса
В этом параграфе рассмотрим задачу об устойчивости неподвижных точек точечного отображения, задаваемого гамильтоновыми дифференциальными уравнениями. Будут рассмотрены случаи, когда величины Xt связаны резонансными соотношениями третьего и четвертого порядков. Будут доказаны два утверждения о неустойчивости. Их доказательство основано на приведении точечного отображения в окрестности неподвижной точки (которую считаем совпадающей с началом координат) к нормальной форме с последующим применением теоремы § 2 о неустойчивости неподвижной точки отображения. По аналогичной схеме исследована устойчивость положений равновесия гамильтоновой системы с одной и двумя степенями свободы в работах автора [53, 55, 60] и автономной гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы в работе Хазина [92]. Теоремы о неустойчивости, полу-
