Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
В пространственной задаче неустойчивость при ц = ц* (і — = 1, 2) конечно, остается, а при значениях |л, не равных ц.; и принадлежащих области (5.1), доказана устойчивость для большинства начальных условий. Кроме того, для почти всех ц, из интервала (5.1) (исключения, быть может, составляют значения ц, соответствующие двукратному резонансу между частотами ©и (о2 и со3) показана формальная устойчивость. Таким образом, если в пространственной задаче точки либрации и могут быть неустойчивыми, то эта неустойчивость в большинстве случаев крайне слабая.
Для значений параметра ц, больших критического значения ц*, точки либрации неустойчивы, что обнаруживается уже в
146 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
линейной задаче, так как соответствующее характеристическое уравнение имеет корни е положительными вещественными частями. При ц = \i* все норни характеристического уравнения чисто мнимые, но среди них есть кратные, а линейная система неустойчива. Анализ показал, что эта неустойчивость исчезает, если в уравнениях возмущенного движения учитывать нелинейные члены. Показано, что при ц = ц* треугольные точки либрации формально устойчивы как в плоской, так и в пространственной задаче. По-видимому, в плоской задаче при ц = ц* можно доказать устойчивость по Ляпунову.
ГЛАВА 9
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Краткая история рассматриваемой задачи
В этой главе мы проведем исследование устойчивости треугольных точек либрации для случая плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. По сравнению со случаем круговой задачи, рассмотренной в двух предыдущих главах, здесь задача очень усложняется, так как независимая переменная явно содержится в гамильтониане возмущенного движения.
Исследование устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче трех тел началось очень давно. А. М. Ляпунов в 1889 году исследовал устойчивость (в Первом приближении) треугольных точек либрации для случая пространственной неограниченной задачи трех тел [48]. Признаком устойчивости А. М. Ляпунов считал бесконечно малое отличие формы и размеров треугольника, образованного тремя телами, в возмущенном и невозмущенном движениях. Результаты А. М. Ляпунова нельзя непосредственно перенести на ограниченную задачу трех тел, где признаком устойчивости считается бесконечно малое отличие длин сторон треугольника, образованного телами, от тех длин, которые им соответствовали в невозмущенном движении в тот же момент времени. Однако при внимательном рассмотрений уравнений движения, исследованных А. М. Ляпуновым в его постановке задачи, можно весьма просто получить следующие выводы об устойчивости (в первом приближении) точек либрации и для случая ограниченной задачи трех тел: 1) при достаточно малых значениях |х треугольные точки либрации устойчивы, 2) при достаточно малых значениях эксцентриситета е треугольные точки либрации устойчивы, если
О < р (1 - ц) < — А (е)
или (1.1)
36 + h (Є) < Ц (1 - и) < 4г + /з (е).
и неустойчивы в противном случае. В формулах (1.1) через /{(е) обозначены некоторые положительные функции е, обращающиеся в нуль при е — 0.
148
УСТОЙЧИВОСТЬ в ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
Приведем краткий обзор работ по исследованию устойчивости лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. В 1964 году было проведено численное исследование в работе Дэнби [110]. В этой работе при помощи численного интегрирования исследовано характеристическое уравнение линеаризованной системы и в плоскости ц,, е получены области устойчивости и неустойчивости. Результаты, полученные Дэнби, представлены
на рис. 12. Области устойчивости на этом рисунке заштрихованы. Несколько позже в работах Гребеникова [19], Беннетта [103, 104] и Ланцано [150] были рассмотрены различные вопросы, связанные с устойчивостью в линейном приближении при малых е, а также численно исследованы характеристические показатели при произвольных значениях параметров е и |д. Совсем недавно появились новые работы по исследованию устойчивости треугольных решений [42, 99, 136, 160, 161]. В этих работах различными аналитическими способами в плоскости ц,, е найдены границы областей устойчивости и неустойчивости. Наиболее точные построения осуществлены в работе Нейфеха и Кэмила [1601. В этой работе границы областей устойчивости и неустойчивости получены с точностью до четвертой степени эксцентриситета включительно и очень хорошо согласуются с результатами, полученными Дэнби при помощи численных расчетов.
Таким образом, устойчивость лагранжевых решений в первом приближении исследована достаточно полно. Обилие работ, посвященных этой задаче, объясняется ее важностью для небесной механики и трудно преодолимыми сложностями исследования линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений.
ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
149
Но из достаточных условий устойчивости в первом приближении никаких заключений об устойчивости в строгом (нелинейном) смысле все же сделать нельзя. Строгое решение требует рассмотрения нелинейной задачи. И здесь исследование становится очень сложным и трудным, так как приходится рассматривать нелинейную неавтономную систему дифференциальных уравнений в критическом случае.
